 |
Примеры решения задач, использующих свойства модуля
|
|
|
|
Пример В некотором лесу расстояние между любыми двумя деревьями не превосходит разности их высот. Все деревья имеют высоту меньше 100 м. Докажите, что этот лес можно огородить забором длиной 200 м.
Решение. Пусть деревья высотой 
растут в точках 
. Тогда по условию 
. Следовательно, длина ломаной 
не превосходит 
м. Эту ломаную можно огородить забором, длина которого не превосходит 200 м (см. рис.).
Пример На отрезке 
числовой оси расположены четыре точки: 
, 
, 
, 
. Докажите, что найдётcя точка 
, принадлежащая , такая, что 
.
Решение. Точки , 
, 
, 
делят отрезок не более чем на пять частей; хотя бы одна из этих частей является интервалом длины не меньше 
. Возьмём за 
центр этого интервала. Расстояние от до концов этого интервала не меньше 
, а до других точек из числа , , , --- больше 
. Поэтому два из чисел 
, 
, 
, 
не меньше , а остальные два строго больше . Так что все обратные величины не больше 10, а две из них строго меньше 10. Тогда сумма обратных величин меньше 40, что и требуется.
Пример Два тела начинают одновременно двигаться равномерно по прямым 
и 
, пересекающимися под прямым углом. Первое тело движется со скоростью 3 км/ч по прямой от точки 
к точке 
, находящейся на расстоянии 2 км от точки . Второе тело движется со скоростью 4 км/ч по прямой 
от точки 
к точке , находящейся на расстоянии 3 км от точки . Найти наименьшее расстояние (в км) между этими телами во время движения.
Решение. Через 
часов первое тело будет находится от точки 
на расстоянии 
км, а второе --- на расстоянии 
км. По теореме Пифагора расстояние между телами составит 
. 
км.
Ответ. км.
Пример Пункты и 
расположены на прямолинейной магистрали в 9 км друг от друга. Из пункта в направлении пункта выходит автомашина, двигающаяся равномерно со скоростью 40 км/ч. Одновременно из пункта в том же направлении с постоянным ускорением 32 км/ч 
выходит мотоцикл. Найти наибольшее расстояние между машиной и мотоциклом в течении первых двух часов движения.
|
|
|
Решение. Расстояние между автомобилем и мотоциклом через 
часов составит 
. 
.
Ответ. 16 км.
Пример Из пункта в пункт вышел пешеход. Не позже чем через 40 мин вслед за ним вышел второй. Известно, что в пункт один из них пришел раньше другого не менее, чем на 1 час. Если бы пешеходы вышли одновременно, то они бы пришли в пункт с интервалом не более чем в 20 мин. Определить, сколько времени требуется каждому пешеходу на путь от до , если скорость одного из них в 1,5 раза больше скорости другого.
Решение. Пусть 
и 
(мин) --- время, затраченное соответственно первым и вторым пешеходом на путь из в , и пусть второй пешеход вышел позже первого на 
минут. Рассмотри 2 возможности 1) 
и 2) 
. В случае 
имеем равенство 
и систему
Из первого и третьего неравенства получим 
, учитывая второе условие получим, что 
, и это в свою очередь дает равенства 
и 
. Т.о. 
, 
, 
.
В случае имеем 
и сиcтему
Но так как 
, то система не совместна, и, следовательно, случай 2 не может иметь места.
Ответ. , , .
Пример По расписанию автобус должен проходить путь 
, состоящий из отрезков 
, 
, 
длиной 5, 1, 4 км соответственно, за 1 час. При этом выезжая из пункта в 10 ч, он проходит пункт в 10 ч 10 мин, пункт 
в 10ч 34 мин. С какой скоростью 
должен ехать автобус, чтобы время за которое автобус проходит половину пути от до 
(со скоростью 
), сложенное с суммой абсолютных величинотклонения от расписания при прохождении пунктов и 
, превышало абсолютную величину отклонения от расписания при прохождении пункта 
не более, чем на 28 мин.
|
|
|
Решение. Условие задачи приводит к системе
которая имеет единственное решение 
.
Ответ. 30 км/ч.
Пример Согласно расписанию катер проходит по реке, скорость течения которой 5 км/ч, путь из в длиной 15 км за 1 час. При этом выходя из пункта в 12ч, он прибывает в пункты и , отстоящие от на растояние 11 км и 13 км соответственно, в 12 ч 20 мин и в 12 ч 40 мин. Известно, что если бы катер двигался из в без остановок с постоянной скоростью (относительно воды), то сумма абсолютных величин отклонений от расписания прибытия в пункты , , не превышало бы уменьшенного на полчаса времени, необходимого катеру для прохождения 5 км со скоростью в стоячей воде. Какой из пунктов находится выше по течению: или ?
Решение. Рассмотрим 2 случая 1) пункт находится выше по течению 2) пункт находится ниже по течению.
В первом случае получаем систему
которая не имеет решения. Тогда выполняется второй случай.
Ответ. .
Пример Даны три квадратных трехчлена: 
, 
и 
. Докажите, что уравнение 
имеет не более восьми корней.
Решение. Каждый корень данного уравнения является корнем одного из квадратных трехчленов 
, 
, 
с некоторым набором знаков. Таких наборов 8, и все они дают действительно квадратные трехчлены, так как коэффициент при 
имеет вид 
, т.е. отличен от нуля. Однако двум противоположным наборам знаков соответствуют квадратные уравнения, имеющие одни и те же корни. Значит, все решения уравнения 
содержатся среди корней четырех квадратных уравнений. Следовательно, их не более восьми.
Пример Шабат Г.Б. Бесконечная последовательность чисел 
определяется условиями: 
, причем 
. Докажите, что последовательность, начиная с некоторого места, периодическая в том случае, если 
рационально.
Решение. Если 
, то 
. Действительно, 
. Если 
рациональное, то 
рациональное, причем со знаменателем не большим чем у . Действительно, пусть 
--- несократимая дробь. Тогда
Если эта дробь несократима, то ее знаменатель такой же, как и у , если она сократима, то после сокращения знаменатель уменьшится.
Итак, все члены последовательности --- рациональные числа, заключенные между 0 и 1, т. е. правильные дроби. Но правильных дробей со знаменателями, не большими заданной величины 
, --- конечное число. Поэтому какие-то члены последовательности повторятся, и с этого момента последовательность будет периодической.
|
|
|
|
|
|
