Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Теорема Эйлера о тензоре поворота

Ориентация тела задается тензором поворота переводящим жестко связанную с телом тройку векторов из отсчетного положения в актуальное (рис. 4.6,а).

Раскладывая по отсчетному базису, получим:

, где называются, напомним, направляющими косинусами.

Теорема Эйлера. Произвольная ориентация твердого тела получается из отсчетной одним поворотом на угол вокруг оси поворота.

В математическом виде теорема сводится к следующей:

Теорема о представлении тензора поворота. Тензор поворота , не равный , единственным образом можно представить в виде

, (4.11)

где – угол поворота, а единичный вектор задает прямую в пространстве, называемую осью поворота; положительное направление отсчета угла поворота согласовано с направлением в соответствии с принятой ориентацией пространства, т. е. в правоориентированном пространстве положительный поворот с конца виден против часовой стрелки.

Доказательство. Покажем, что существует единственный неподвижный вектор , т. е. уравнение имеет единственное решение. Перепишем его в виде однородного уравнения , которое имеет решение, только если определитель равен нулю, что и следует из цепочки:

Предположим, что существуют два решения и . Из тождества (1.14) получим: ; это означает, что вектор также является неподвижным вектором.

Последнее что невозможно, так как .

Примем а в качестве и возьмем любые перпендикулярные к и между собой единичные векторы. Поскольку тензор поворота не изменяет углов между векторами, то векторы и , перпендикулярные к неподвижному вектору , лежат в плоскости и (рис. 4.6,б):

Рис. 4.6.Ориентация твердого тела

а)

б)

Подставляя эти выражения в тензор и заменяя диады, содержащие независящими от их выбора выражениями:

, придем к (4.11).

Можно доказать [3], что тензор поворота аналитически выражается через произведение , называемым вектором поворота, поэтому в дальнейшем тензор поворота будем в необходимых случаях обозначать .