Теорема Эйлера о тензоре поворота
Ориентация тела задается тензором поворота
переводящим жестко связанную с телом тройку векторов из отсчетного положения
в актуальное
(рис. 4.6,а).
Раскладывая
по отсчетному базису, получим:
, где
называются, напомним, направляющими косинусами.
Теорема Эйлера. Произвольная ориентация твердого тела получается из отсчетной одним поворотом на угол
вокруг оси поворота.
В математическом виде теорема сводится к следующей:
Теорема о представлении тензора поворота. Тензор поворота
, не равный
, единственным образом можно представить в виде
, (4.11)
где
– угол поворота, а единичный вектор
задает прямую в пространстве, называемую осью поворота; положительное направление отсчета угла поворота
согласовано с направлением
в соответствии с принятой ориентацией пространства, т. е. в правоориентированном пространстве положительный поворот с конца
виден против часовой стрелки.
Доказательство. Покажем, что существует единственный неподвижный вектор
, т. е. уравнение
имеет единственное решение. Перепишем его в виде однородного уравнения
, которое имеет решение, только если определитель равен нулю, что и следует из цепочки:

Предположим, что существуют два решения
и
. Из тождества (1.14) получим:
; это означает, что вектор
также является неподвижным вектором.
Последнее что невозможно, так как
.
Примем
а в качестве
и
возьмем любые перпендикулярные к
и между собой единичные векторы. Поскольку тензор поворота не изменяет углов между векторами, то векторы
и
, перпендикулярные к неподвижному вектору
, лежат в плоскости
и
(рис. 4.6,б):
.
Рис. 4.6.Ориентация твердого тела
|
Подставляя эти выражения в тензор
и заменяя диады, содержащие
независящими от их выбора выражениями:
, придем к (4.11).
Можно доказать [3], что тензор поворота аналитически выражается через произведение
, называемым вектором поворота, поэтому в дальнейшем тензор поворота будем в необходимых случаях обозначать
.
Представление (4.11) позволяет доказать весьма важную теорему:
Теорема 4.1. Если неподвижный вектор
тензора
), определяющий ось поворота, сам получен поворотом
, то
. (4.12)
Иными словами: «тензор поворота с повернутой осью равен повернутому тензору»
Доказательство. Подставляя в (4.11)
, получим:
,
, и, полагая в тождестве (1.16)
,
. Таким образом,


Читайте также:
Воспользуйтесь поиском по сайту: