Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Сложное движение точки. Теоремы о сложении скоростей и ускорений (теорема Кориолиса). Пример

⇐ ПредыдущаяСтр 15 из 37Следующая ⇒

Имеются две системы отсчета: называемая неподвижной система S, в которой будут написаны все формулы, и подвижная 4.12).

Рис. 4.12. Системы отсчета

•

Движение точки по отношению к неподвижной системе называется абсолютным; скорость и ускорение обозначаются

Движение точки по отношению к подвижной системе называется относительным; скорость и ускорение обозначаются

Движение подвижной системы по отношению к неподвижной называется переносным; скорость и ускорение того места подвижной системы, где в данный момент находится рассматриваемая точка, обозначаются . Вектор положения точки в неподвижной системе может быть представлен в виде суммы Разложим по базису подвижной системы:

где – координаты относительного движения точки. Таким образом,

. (4.26)

Для упрощения записи формул далее символ зависимости величин от времени опустим.

Дифференцируя (4.26) и заменяя по формуле Эйлера , где – угловая скорость подвижной системы, получим:

. (4.27)

Первые два слагаемых – уже знакомая скорость того места подвижной системы, где находится наблюдаемая точка, т. е. переносная скорость

, (4.28)

а сумма произведений производных относительных координат и базисных векторов подвижной системы является относительной скоростью:

. (4.29

Итак, абсолютная скорость равна сумме переносной и относительной:

(4.30)

Продифференцируем (4.27): .

Подставив в это выражение – вектор углового ускорения подвижной системы, ранее полученную формулу (см. 4.27) , формулу Эйлера ,получим:

Первые три слагаемые – ускорение того места подвижной системы, где находится точка, т.е. переносное ускорение

, (4.31)

сумма произведений производных относительных координат и базисных векторов подвижной системы является относительным ускорением

, (4.32)

а последнее слагаемое называется ускорением Кориолиса

. (4.33)

Получили теорему о сложении ускорений (теорему Кориолиса):

а бсолютное ускорение равно сумме переносного ускорения, относительного и ускорения Кориолиса:

(4.34)

где .

Заметим, что скорость и ускорение обычно называют относительными скоростью и ускорением, измеряемыми «подвижным наблюдателем», что не совсем верно, поскольку для подвижного наблюдателя подвижный базис является неподвижным; , т. е. «истинные» относительные скорость и ускорение , а и ускорение – это повернутые вместе с подвижной системой «истинные».

Все изложенное можно кратко получить, используя тензор поворота. Вектор положения точки в неподвижной системе представим в виде суммы:

где –тензор поворота подвижной системы отсчета; – вектор в неподвижной системе, описывающий относительное движение;

– повернутый вместе с подвижной системой вектор , т.е. вектор относительного положения, каким его видит неподвижный наблюдатель (рис. 4.12). Дифференцируя это равенство и воспользовавшись формулой Пуассона получим теорему сложения скоростей:

а дифференцируя еще раз – теорему о сложении ускорений:

Пример.

S(t)

По полому кольцу, вращающемуся вокруг неподвижной, находящейся в плоскости кольца оси, движется точка. Найдем ее скорость и ускорение.

Применим теорему о сложении скоростей и ускорений, приняв кольцо за подвижную систему отсчета.

где .

Уравнения будем проецировать на оси подвижной системы координат в подвижной системе отсчета, что, собственно, всегда и делается в учебных задачах, решаемых «графоаналитическим» способом с использованием неподвижного рисунка. Следует, конечно, помнить, что действительные векторы скорости и ускорения получаются поворотом найденных векторов вместе с подвижной системой:

Вектор относительного положения точки

, где ;

вектор относительной скорости

где орт касательной к относительной траектории;

вектор переносной скорости

, где обозначено – расстояние от точки до оси вращения.

Таким образом, .

Если, как в этой задаче, траектория простая и ее орты касательной и нормали, а также радиус кривизны известны, вектор относительного ускорения можно найти или как сумму касательного (тангенциального) и нормального ускорений: