Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Материальной точки. Силы инерции. Примеры

Уравнение первого ФЗМ для материальной точки имеет вид второго закона Ньютона (точку считаем закрытым телом):

По теореме о сложении ускорений абсолютное ускорение

поэтому это уравнение можно записать в виде

, (5.10)

где величины по определению называются соответственно переносной и кориолисовой силами инерции.

Эти силы называют Эйлеровыми силами инерции, поскольку Эйлер получил их формулы в своих исследованиях законов движения жидкости во вращающихся каналах.

Силы инерции тождественно равны нулю в системах отсчета, движущихся поступательно и равномерно относительно исходной инерциальной.

Эти системы образуют класс инерциальных систем отсчета.

Если наблюдатель в какой-либо системе отсчета обнаружит явления, противоречащие законам механики, в которых движения тел зависят от воздействий со стороны других физических тел, то либо не все воздействия учтены, либо его система отсчета неинерциальная.

Маятник Фуко

Впервые публичная демонстрация была осуществлена французским физиком и астрономом Жаком Фуко в 1851 г. в Парижском Пантеоне: под куполом Пантеона он подвесил металлический шар массой 28 кг с закреплённым на нём остриём на стальной проволоке длиной 67 м. Крепление маятника позволяло ему свободно колебаться во всех направлениях, под точкой крепления было сделано круговое ограждение диаметром 6 м, по краю ограждения была насыпана песчаная дорожка таким образом, чтобы маятник в своём движении мог при её пересечении прочерчивать на песке отметки. Чтобы избежать бокового толчка при пуске маятника, его отвели в сторону и привязали верёвкой, после чего верёвку пережгли.

Период колебания маятника при такой длине подвеса составлял 16,4 с, при каждом колебании отклонение от предыдущего пересечения песчаной дорожки составляло ~3 мм, за час плоскость колебаний маятника повернулась более чем на 11° по часовой стрелке, т.е. примерно за 32 ч совершила полный оборот и вернулась в прежнее положение.

Рис. 5.2. Маятник Фуко.

а)

б)

Для качественного понимания причины поворота плоскости колебаний поместим маятник на Северном полюсе (рис. 5.2,а).

В инерциальной системе отсчета, в качестве которой можно взять систему, связанную с «неподвижными» звездами, уравнение движения имеет вид:

где – вектор положения маятника с началом в неподвижной точке системы отсчета (например, в центре Земли), – натяжение нити, а – гравитационное притяжение Земли.

Ясно, что если начальная скорость .лежит в плоскости , то маятник не выйдет из этой постоянной в инерциальной системе плоскости колебаний, что с точки зрения земного наблюдателя воспринимается как вращение этой плоскости по часовой стрелке с угловой скоростью . Если же маятник находится на широте , то плоскость колебаний вращается с угловой скоростью .

Рассматривая движение маятника как сложное, состоящее из переносного вместе с вращающейся Землей и относительного, запишем уравнение (5.10) в виде:

, (1)

где обозначено – сила тяжести на данной широте ;

натяжение нити; сила инерции Кориолиса, которая направлена перпендикулярно скорости вправо, если смотреть вслед маятнику, чем и объясняется вращение плоскости колебаний по часовой стрелке.

Обычным способом записи уравнений динамики относительного движения является проецирование их на оси, связанные с подвижной системой отсчета (в данном случае с Землей).

При векторном описании относительного движения необходимо все векторы в уравнении представить в виде , где тензор поворота подвижной системы отсчета, а «перенесенный» вектор.

Вектор положения, с началом в точке подвеса, запишем в виде , где тензор поворота Земли (рис. 5.2б). Тогда относительные скорость и ускорение ; сила тяжести ; натяжение . Поскольку , то и сила инерции Кориолиса по тождеству (1.14) также представима в виде:

Таким образом, умножив (1) слева скалярно на , получим:

(2)

Представим вектор угловой скорости Земли в виде , а вектор положения , где горизонтальная составляющая вектора положения и, удерживая линейные относительно величины, получим:

где подчеркнутое слагаемое параллельно .

Из проекции уравнения (2) на ось Z получим , а «плоская» часть примет вид:

, (3)

где квадрат собственной частоты математического маятника.

Решение уравнения (3) будем искать в виде . Используя формулу Пуассона: , получим:

, (учли, что ).

Подставляя в (3), получим или

Решение этого уравнения , где , при произвольных , т.е. при произвольных начальных условиях, описывает движение по эллипсу. Решение уравнения (3) описывает вращение этого эллипса по часовой стрелке с угловой скоростью .

При начальных условиях, осуществленных Фуко (отклонение и отпускание без начальной скорости) находим: , и решение можно трактовать как вращение плоскости колебаний маятника.

⇐ Предыдущая 12 13 14 15 161718 19 20 21 Следующая ⇒