Колебания упругих тел с распределенными параметрами

Перемещения, деформации, внутренние силы и моменты, распределение массы в реальных телах и их моделях описываются функциями положения (места) и времени, поэтому число степеней свободы бесконечно. Однако в зависимости от требуемой точности и характера изучаемого движения (покоя) можно свести задачу к модели с несколькими степенями свободы (осуществить дискретизацию). Имеются различные способы дискретизации.

Метод Рэлея–Ритца

Для иллюстрации метода рассмотрим прямолинейный стержень, который может совершать продольные, крутильные, изгибные колебания. Перемещения задаются в виде ряда

, (7.23)

где – задаваемые линейно - независимые функции координат, (координатные функции), а неизвестные функции времени, которые в терминах механики Лагранжа можно назвать обобщенными координатами. Если используется только одна координатная функция, метод называется методом Рэлея. Координатные функции должны по меньшей мере удовлетворять краевым условиям для перемещений (так называемым кинематическим условиям); разумеется, если выполняются хотя бы некоторые силовые условия, результаты будут ближе к точному решению.

Кинетическая и потенциальная энергии деформации (внутренняя энергия) во всех отдельно рассматриваемых случаях имеют вид:

, , (7.24)

где приведенные в табл. 7.1 коэффициенты инерции и жесткости, а деформация. Подставляя (7.23) в (7.24), получим:

.

Уравнения Лагранжа для полученной системы с степенями свободы имеют вид:

,

где – обобщенные силы, соответствующие внешним воздействиям .

Таблица 7.1

Коэффициенты инерции и жесткости

Вид колебаний	Деформация	Жесткость	Инерция	Усилия и моменты
Продольные				Продольная сила
Изгибные				Перерезывающая сила , изгибающий момент