Линеаризация уравнений вблизи положения равновесия

Поскольку линейные уравнения легко решать и исследовать, малые колебания являются самым разработанным отделом механики; даже во многих нелинейных задачах линейное приближение дает вполне удовлетворительный результат.

Движение тела (системы) будем описывать уравнениями Лагранжа:

.

Положение (или положения) равновесия определяются либо из уравнений движения, в которых следует принять скорости и ускорения равными нулю, либо с помощью принципа возможных скоростей, который, как мы видели, является следствием уравнений Лагранжа. В том и другом случае положения равновесия определяются из системы

.

Не ограничивая общности, будем считать, что обобщенные координаты в положении равновесия равны нулю (всегда можно «сдвинуть» координаты).

Кинетическая энергия является однородной квадратичной формой обобщенных скоростей:

, ,

где – обобщенные координаты, обобщенные скорости.

Разложим в ряд Маклорена коэффициенты инерции и ограничимся лишь первыми членами , поскольку удержание прочих приводит к нелинейным уравнениям Лагранжа. С практической точки зрения это соответствует тому, что кинетическую энергию надо вычислять в момент, когда система проходит положение равновесия. Таким образом,

. (7.10)

Потенциальную энергию также разложим в ряд до членов второй степени включительно:

.

В этом разложении линейные относительно координат слагаемые равны нулю, поскольку в положении равновесия равны нулю обобщенные силы , постоянное же слагаемое можно считать равным нулю «для красоты», так как Pопределена с точностью до константы. Обозначив , получим:

. (7.11)

Подставляя (7.10) и (7.11) в уравнения Лагранжа, получим систему:

(7.12)

Если ввести матрицы инерции и жесткости

; ,

то кинетическую (7.10) и потенциальную энергию (7.11) можно записать в виде квадратичных форм , а систему уравнений (7.12) в матричном виде:

, (7.13)

где – вектор–столбец обобщенных координат.

Определение: Симметричная матрица называется положительно определенной (или положительной), если порождаемая ею квадратичная форма положительно определена, т. е.:

Согласно этому определению, матрица инерции положительно определена, поскольку кинетическая энергия положительна при любых ненулевых скоростях.