Колебания системы с одной степенью свободы

Все реальные тела ввиду их деформируемости обладают бесконечным числом степеней свободы, однако в качестве расчетной схемы можно выбрать систему с одной или несколькими степенями свободы. Так, например, плоское движение маятника может быть описано только углом поворота, если пренебречь его деформацией, а движение системы «диск – вал» также задается одним углом поворота, если пренебречь массой вала по сравнению с диском.

Наглядной моделью тела с одной степенью свободы, с помощью которой изучаются колебания, является грузик на пружине жесткости (рис. 7.1). На грузик действуют сила тяжести , сила упругости , возмущающая сила и пропорциональная скорости сила так называемого вязкого трения , которая моделируется демпфером.

Координату удобно отсчитывать из положения статического равновесия, в котором упругий элемент (пружина) уже имеет деформацию . Для безошибочного составления уравнений движения в качестве актуального следует взять состояние, при котором тело смещено в положительном направлении и имеет положительную же скорость .

Запишем уравнение первого фундаментального закона (второго закона Ньютона) в проекции на ось : . В положении равновесия и уравнение принимает вид:

.

Разделив на массу, получим каноническую запись уравнения:

, (7.1)

где обозначено .

Свободные колебания без сопротивления

В отсутствии вязкого сопротивления и возмущающей силы уравнение (7.1) принимает вид:

. (7.2)

Общее решение этого уравнения – сумма , где постоянные определяются из начальных условий .

и .

Последнее выражение можно записать в виде , где собственная частота , амплитуда и начальная фаза колебаний определяются по формулам:

; .