Ускорение точки. Угловое ускорение тела

Метод полюса. Дифференцируя (14.1) по времени, получим

,

то есть вектор ускорения любой точки тела при плоском движении равен геометрической сумме векторов ускорения полюса и ее ускорения во вращении вокруг этого полюса (рис. 14.11).

A

B

Рис. 14.11

Так как траектория точки в относительном вращении вокруг полюса является окружностью, то ее ускорение в этом движении складывается из касательного и нормального

,

 

где ( - угловое ускорение тела), .

Модуль относительного ускорения

.

Тогда

.

Полное ускорение составляет с прямой угол , не зависящий от выбора полюса: .

 

Билет№5 Начало в билете№8

В каждый момент времени при движении плоской фигуры в своей плоскости, если угловая скорость и угловое ускорение не равны нулю одновременно (), имеется единственная точка этой фигуры, ускорение которой в данный момент времени равно нулю (рис. 14.12). Эта точка называется мгновенным центром ускорений (МЦУ).

Q

A

B

C

μ

μ

μ

Рис. 14.13

ε

ω

Рис. 14.12

O

МЦУ лежит на луче , полученном поворотом вектора на угол в направлении . Только в этом случае векторы и могут иметь одинаковые модули и быть противоположно направлены, то есть

 

, или ,

где .

 

Следовательно,

.

Из приведенных рассуждений следует, что МЦУ является единственной точкой, имеющей ускорение, равное нулю. В общем случае МЦУ изменяет свое положение с течением времени.

Выбрав точку за полюс (рис. 14.13), имеем

, так как .

 

Следовательно, ,

 

как и для других точек, например:

.

Ускорения точек прямо пропорциональны их расстояниям до МЦУ:

.

Ускорения точек тела при плоском движении можно определить так же, как при его вращательном движении вокруг МЦУ с угловой скоростью и угловым ускорением .

В общем случае МЦС и МЦУ не совпадают, являясь разными точками подвижной плоскости.

 

Рис. 14.14

Частные случаи нахождения МЦУ

 

1. (рис. 14.14).

Угол равен нулю: .

Рис. 14.15

При известном ускорении точки расстояние . Векторы ускорений точек направлены к мгновенному центру ускорений .

2. (рис. 14.15).

Угол равен : . При известном ускорении точки расстояние .

Q

A

B

μ

μ

ε

Рис. 14.16

Векторы ускорений точек направлены под прямым углом к отрезкам, соединяющим точки с мгновенным центром ускорений.

 

3. (рис. 14.16).

Находим угол . В сторону вращения поворачиваем на угол известный вектор и на полученном луче откладываем отрезок .

Векторы ускорений всех точек тела направлены под углом к отрезкам, соединяющим точки с мгновенным центром ускорений.

Билет№4

Вращением твердого тела вокруг неподвижной точки, или сферическим движением твердого тела, называется такое движение, при котором одна точка тела остается все время неподвижной. Все точки тела движутся по траекториям, расположенным на поверхностях сфер, описанных из неподвижной точки.

Как известно, свободное тело в пространстве имеет шесть степеней свободы, а закрепление одной точки уменьшает это число на три. Таким образом, тело, вращающееся вокруг неподвижной точки, имеет всего три степени свободы. Для определения его положения необходимо иметь три независимые величины.

Наибольшее применение получили углы Эйлера.

Через неподвижную точку О твердого тела проведем неподвижную систему координат , относительно которой рассматриваем движение тела

(рис. 15.1). Подвижную систему координат жестко скрепим с телом.

Положение подвижной системы координат относительно неподвижной, то есть положение тела, будем характеризовать следующими тремя углами Эйлера.

– угол прецессии, то есть угол между осью и линией узлов ОК (линия пересечения подвижной координатной плоскости с неподвижной ). Этим углом определяется вращение тела вокруг неподвижной оси , называемой осью прецессии. Положение линии узлов ОК изменяется одновременно относительно подвижной и неподвижной систем координат и .

Рис. 15.1

Угол между положительными направлениями оси и линии узлов ОК считается положительным при его отсчете против часовой стрелки, если смотреть с конца оси . Положительным направлением линии узлов ОК считается то, при котором, глядя с конца ее, можно видеть поворот оси до совмещения с осью кратчайшим путем против часовой стрелки.

- угол нутации, то есть двугранный угол между координатными плоскостями и , определяемый как угол между перпендикулярными к этим плоскостям координатными осями и . Он считается положительным, если его отсчет с конца линии узлов ОК виден против часовой стрелки. Поэтому линию узлов ОК называют осью нутации.

- угол собственного вращения, то есть угол между осью координат и положительным направлением линии узлов ОК. Он считается положительным, если с конца оси , перпендикулярной к плоскости, образованной прямыми ОК и , поворот от ОК до виден против часовой стрелки. Ось называется осью собственного вращения.

При вращении тела вокруг неподвижной точки в общем случае одновременно изменяются все углы Эйлера , , . Однако из одного в другое положение тело можно переместить, меняя углы Эйлера не все одновременно, а последовательно в любом порядке. Изменения углов , , для двух рассматриваемых положений тела будут такими же, как и при одновременном их изменении. Поэтому углы Эйлера являются независимыми параметрами или обобщенными координатами, характеризующим и положение тела с одной неподвижной точкой относительно неподвижной системы координат. Задание трех углов Эйлера является необходимым и достаточным условием для полного описания движения тела с одной закрепленной точкой.

Эти углы изменяются со временем и могут быть описаны зависимостями

, , (15.1).

Уравнения (15.1) называются кинематическими уравнениями вращения твердого тела вокруг неподвижной точки. С их помощью можно определить положение твердого тела относительно неподвижной системы координат в любой момент времени.

Билет№3

I

II

Рис. 15.2

Теорема Даламбера-Эйлера. Твердое тело, имеющее одну неподвижную точку, из одного положения в любое другое можно перевести одним поворотом вокруг оси, проходящей через неподвижную точку. Эта ось называется осью конечного вращения.

Доказательство

Построим сферическую поверхность с центром в точке О (рис. 15.2). Отметим положения двух точек А и В на этой сфере, характеризующих положение тела I, и положения и , характеризующих положения тела II. Дуги и принадлежат сфере.

Соединим точку с и с дугами большего круга (они лежат в плоскостях точек , , и , , ). В серединах дуг и отмечаем точки и , из которых проводим сферические перпендикуляры, то есть дуги большого круга СР и DP (их касательные в точках С и D перпендикулярны к касательным к дугам и в тех же точках).

Эти перпендикуляры пересекаются в точке Р. Заметим, что сферические прямоугольные треугольники и равны между собой, так как имеют общий катет и равные катеты и . Таким образом, в них равны и гипотенузы , то есть точки и равноудалены от точки Р.

Можно доказать равноудаленность точек и от точки Р ().

Если повернуть заштрихованный сферический вокруг оси , то он, перемещаясь по сфере, совпадет с равным ему сферическим треугольником , так как сферический угол, на который надо повернуть вокруг ОР дугу АР до совпадения с дугой , равен сферическому углу на той же сфере, на который надо повернуть дугу ВР до совпадения с дугой .

Таким образом, путем поворота вокруг оси, перпендикулярной к поверхности сферы и проходящей через точку Р и, следовательно, через неподвижную точку тела, тело можно переместить из одного положения в другое. Заметим, что точка Р и, следовательно, конечная ось вращения соответствуют выбранным двум положениям тела.

 

⇐ Предыдущая123456Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: