 |
Как извлечь корень из квадрата?
|
|
|
|
Пусть у нас есть хорошее число 2. Возведём его в квадрат.
22 = 4
Кто бы спорил? А теперь давайте обратно, извлечём из результата квадратный корень:
Опять всё чудесно, правда? С чего начали, к тому и вернулись! Стало быть, можно записать:
Оно и естественно, правда? Возведение в квадрат компенсируется обратной операцией - извлечением квадратного корня. В общем виде формула выглядит вот так:
Стоп! Внимание! Во всех учебниках, справочниках и пособиях рядом с такой формулой всегда пишут: "где а - больше, либо равно нулю". В этих словах, которые многие просто пропускают, и кроются главные сложности корней. Потому, что в примерах а частенько бывает отрицательным! Пока и мы будем считать, что а - неотрицательное. Для простоты. А вот как встретите на этой странице мрачного зайца - вот там и начнётся настоящая работа!
Продолжаем. Корень из квадрата извлекается просто. А если у нас подкоренное выражение не в квадрате, а в другой степени? Допустим, в четвёртой? Да нет проблем. Приведём нашу степень к квадрату. Вот так:
24=(22)2
Для таких преобразований надо опять-таки знать действия со степенями, но тут уж ничего не поделаешь...
Теперь по формуле корня из квадрата:
Вот и всё. Корень из любой чётной степени даст в результате подкоренное выражение в степени, в два раза меньше исходной. Корень из 310 ? Легко! Это будет 35. Корень из 518? Запросто! Это будет 59. Ну, и так далее.
А если степень нечётная? Подумаешь! Раскладываем подкоренное выражение на множители - и вперёд! Используем вынесение множителя из-под корня. Например:
Всё просто. Но до сего момента мы работали только с неотрицательными числами и выражениями. Как только в игру вступают отрицательные величины, простота куда-то пропадает начисто... Вернём эту простоту и ясное понимание.
|
|
|
Вот тут и будет мрачный заяц. Для лучшего запоминания.) Концентрируем внимание и собираем весь интеллект в кулак!)
Итак, откуда в корнях могут появиться отрицательные числа и выражения?
Пунктик первый. Отрицательные значения даны прямо в задании. Вспоминаем пример корня из квадрата двойки:
Здесь всё понятно и просто.
А теперь попробуем вычислить:
Берём, и просто считаем, безо всяких формул:
(-2)2 = 4
Извлекаем корень из четырёх и получаем 2. Так как арифметический квадратный корень (а в школе мы работаем только с такими!) - всегда число неотрицательное! То есть:
А если бы мы использовали формулу:
получили бы не два, а минус два! Что является ошибкой.
Не работает эта формула для отрицательных значений.
Для того, чтобы формула корня из квадрата работала для всех значений а, она записывается вот так:
Это и есть последнее, третье свойство корней. Корень из квадрата. Третья ножка для табурета.)
Здесь появляется страшный значок для старшеклассников. Модуль. Если вы пока не сильны в раскрытии модулей, не волнуйтесь. Здесь он означает лишь то, что при любом знаке а, результат извлечения корня из квадрата будет всегда неотрицательный. Формула стала полноценной. Модуль просто отсекает минусы:
Пунктик второй. Отрицательные значения спрятаны в буквах и дополнительных условиях. Например, требуется упростить выражение:
где х<0.
Казалось бы, ответ прост. Получится просто х. Но зачем тогда дополнительная информация?! Приходится соображать. Если х<0, это отрицательное число. Минус два, или минус тридцать, там... Но корень квадратный отрицательным быть не может! Это будет точно х, но он должен быть с плюсом! Где взять плюс? А мы его сделаем! Если перед заведомо отрицательным числом, поставить минус, это число станет, число станет... положительным! И верное решение выглядит так.
|
|
|
Собственно, это и есть главная трудность в работе с корнями. В отличие от более простых разделов математики, здесь правильный ответ частенько не вытекает автоматически из формул. Необходимо подумать и лично принять верное решение.)
И как справляться со всем разнообразием заданий с корнями? А есть ещё иррациональные уравнения и неравенства, где эти пунктики играют главную роль...
Спокойно! Вникайте и запоминайте.
Главный практический совет по работе с квадратными корнями.
В любом задании с квадратными корнями лично контролируйте знаки подкоренного выражения и результата извлечения корня.
Прикидывайте, и оценивайте ситуацию, исходя из внешнего вида примера и всех дополнительных условий задания. Если под знаком корня - минус, дальше можно не решать. Выражение не имеет смысла. Что нам делать нечего, бессмысленные выражения решать?!
Если под корнем всё нормально, плюс, а в результате извлечения получается заведомый минус - сделайте из него плюс! Этого требуют правила действий с квадратными корнями.
Ну вот, основные тонкости корней мы разобрали. Теперь об одной ошибке, рассказать про которую я обещал в предыдущем уроке. Эта ошибка ничего общего с тонкостями не имеет! Это абсолютно тупой косяк, о котором и говорить-то неловко. Но надо. Слишком часто он встречается...
Обратите внимание! Все свойства корней связаны с умножением-делением. И ни одного - со сложением-вычитанием! На сложение-вычитание корней - не существует специальных формул!
Однако народ складывает... И не самый трудный народ... Поэтому громко напоминаю:
или:
Хотя одинаковые корни можно, конечно, складывать-вычитать. Как приводить подобные с буквами. Например:
или:
Но эти действия к специфическим свойствам корней не имеют никакого отношения.
А теперь попрактикуемся в корнях. От примитивных заданий до продвинутых. Все ответы даны в беспорядке.
Вычислить:
Ответы: 1, 9, 2.
Не получается? Смотрим ЗАКЛЮЧЕНИЕ этого урока.
Примитив? Тогда решаем дальше.
Упростить:
Ответы: 3 а4 b, -4 а4 b5 , 3 а.
Не выходит? Смотрим ЗАКЛЮЧЕНИЕ урока.
Получилось? Неплохо. А как вам эти примерчики?
|
|
|
Вычислить (все буквы - неотрицательные):
Ответы (в беспорядке): выражение не имеет смысла; 5; 4; 1; -3; 0,5
Всё нормально!? Отлично. Корни - не ваша проблема.
Не всё понятно? Не беда. Читаем дальше.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Не получаются даже простые примеры? Или не очень простые? Хотелось бы увидеть решение всех примеров с подробными и понятными объяснениями? Нет проблем! Идём в Особый раздел 555. Квадратные корни. Там даны все разъяснения. Которые, между прочим, годятся не только для решения этих примеров...
Это и будет последняя, четвёртая ножка для табурета.) Которая не даст свалиться и при серьёзных заданиях.
Особо ценная информация Раздела 555 помогает даже в самых запущенных случаях!) Когда не получается - и всё тут! Не говоря уж об отдельных неясностях. В этом разделе вы познакомитесь с практической работой с корнями.
И всё получится.
Что такое логарифм?
Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно "не очень..."
И для тех, кто "очень даже...")
Что такое логарифм? Как решать логарифмы? Эти вопросы многих выпускников вводят в ступор. Традиционно тема логарифмов считается сложной, непонятной и страшной. Особенно - уравнения с логарифмами.
Это абсолютно не так. Абсолютно! Не верите? Хорошо. Сейчас, за какие-то 10 - 20 минут вы:
1. Поймете, что такое логарифм.
2. Научитесь решать целый класс показательных уравнений. Даже если ничего о них не слышали.
3. Научитесь вычислять простые логарифмы.
Причём для этого вам нужно будет знать только таблицу умножения, да как возводится число в степень...
Чувствую, сомневаетесь вы... Ну ладно, засекайте время! Поехали!
Для начала решите в уме вот такое уравнение:
3 x = 9
Это показательное уравнение. Оно так называется потому, что х стоит в показателе степени. Если вы не в ладах с показательными уравнениями, или вообще про них ничего не слышали - не страшно. Просто подберите х, чтобы равенство сработало. Удалось? Ну да, х = 2. Три в квадрате - это девять.
А теперь решите почти то же самое:
|
|
|
3 x = 8
Что, что-то не так? Ответ, что нету такого икса, не принимается!
Согласитесь, что это как-то нечестно – с девяткой пример решается в уме, а с восьмеркой не решается вовсе! Ну чем девятка лучше восьмерки?! Математика не терпит такой дискриминации. Для математики все числа равны! Ну, не буквально, конечно….
Можно сообразить, что икс – какое-то дробное число, между единичкой (3 1 = 3) и двойкой (3 2 = 9). И даже приближенно подобрать, найти это число. Но так возиться каждый раз.... Математика решает вопрос как всегда радикально и элегантно. Просто введением понятия логарифма. Итак, что такое логарифм?
Вернёмся к нашему загадочному примеру:
3 x = 8.
х - это число, в которое надо возвести 3, чтобы получить 8. Фраза понятна? Если непонятна, прочитайте ещё раз. И ещё. Это важно.
Вот и назовём это число логарифмом восьми по основанию три. Записывается это вот как:
х = log38
Читаем ещё раз: "икс равен логарифму восьми по основанию три".
Где что пишется – запомнить легко: число 3 – называется основанием, пишется в логарифме и в показательном выражении внизу. Основание у чего угодно - оно, обычно, внизу бывает.
И это правильный ответ!
Вот и всё.
Мы решили крутое показательное уравнение 3 x = 8!
Ответ: х = log38.
И, неожиданно для себя, научились решать все показательные уравнения такого типа!
Как решить пример:
5 x = 12?
Легко! х - это число, в которое надо возвести 5, чтобы получить 12. В математической записи:
х = log512
Ещё пример:
2 x =135?
Элементарно!
х = log2135
И ещё:
19 x = 0,352?
Не вопрос!
х = log190,352
Это все верные ответы! Приятно, правда?
Представьте, мы в обыденной жизни спросили, например: "как доехать до вокзала?" И нам честно и правильно ответили: "На автобусе, который идёт до вокзала!" В жизни толку с такого ответа мало.
А в математике - пожалуйста!
На вопрос: чему равен х в уравнении
3 x = 8?
Мы честно отвечаем: х равен числу, в которое надо возвести 3, чтобы получить 8! Или, чтобы так долго не говорить, пишем в сокращённом варианте, через логарифм:
х = log38
Вас смущает, что вместо конкретного числа мы пишем какие-то значки с цифрами? Ну ладно, только для вас... Я покажу вам это конкретное число:
х = log38 = 1,892789260714.....
Легче стало? Учтите ещё, что это число никогда не кончается. Иррациональное оно...
Поэтому и записывают логарифмы вместо страшно лохматых чисел. Кому надо числовой ответ - посчитает на калькуляторе.
Так, что такое логарифм - осознали, и решать целый класс показательных уравнений - научились.
Но радость от новых знаний будет неполной без ложки дегтя. Если логарифм считается без калькулятора, его надо считать. Ответ, например, х = log24 нехорош. Этот логарифм вычисляется, и его вы обязаны посчитать. Собственно, это и есть решение логарифма.
|
|
|
И чему же равен log24?
Переводим с математического на русский: log24 - это число, в которое надо возвести 2 (основание), чтобы получить 4. Ну, во что надо возвести 2, чтобы получить 4!?
Да! В двойку надо возвести! Вот и ответ:
log24 = 2
А log327 чему равен? Тройка в какой степени даст 27? В третьей! Ответ:
log327 = 3
Уловили? Ну-ка разовьём успех! Решаем примеры:
log381 =
log416 =
log55 =
log6216 =
Ответы (в беспорядке, разумеется!): 2; 1; 3; 4.
Что, тяжело сообразить, в какой степени шестёрка даст 216? А я предупреждал, что здесь таблицу умножения знать надо! Более того, намекну, что таблицу умножения вообще знать надо... Не только здесь.
Ну что, смотрим на часы? Сильно я ошибся?
Вот мы и познакомились с логарифмами. На понятном уровне. Вы убедились, что они не опасны. Но есть, есть у них свои фишки! Самая важная - это ограничения.
До сих пор мы знали два жёстких ограничения. Нельзя делить на ноль и извлекать корень чётной степени из отрицательного числа. Эти ограничения играют огромную роль в решении заданий. Про ОДЗ помните? Теперь добавляются ограничения, связанные с логарифмами.
Запишем в общем виде, т.е. через буквы:
c = logab
или, что едино:
logab = c
Вспомним: а - это основание, которое нужно возвести в степень с, чтобы получить b.
Прикинем, любым ли числом может быть а? Если, к примеру, а = 1? Забавно получится, единица в любой степени - единица. Как-то оно не очень... Как не меняй с, а а и b единичками останутся... Та же история и с нулём. Не годятся эти числа в качестве основания. Отрицательные числа - капризные. В одну степень их можно возводить, в другую нельзя... Вот и поступили с ними, как со всеми капризными – вовсе исключили из рассмотрения.
В результате получилось:
а > 0; a ≠ 1
А если мы положительное число возведём в любую степень, мы получим... получим... Да! Положительное число и получим. Отсюда:
b > 0.
Вот и все ограничения. Только на а и b. с может быть совершенно любым числом.
При решении числовых логарифмов эти ограничения практически не сказываются. Но при решении логарифмических уравнений и неравенств - это настолько важно, что я здесь про ограничения сказал, в уравнениях скажу, и при любом удобном случае повторять буду!
Ещё не мешает знать, что такое десятичный логарифм и что такое натуральный логарифм? В математике два основания употребляются очень часто. Это основание 10 и основание е. Число е.
е = 2,71828182845.....
Иррациональное число. Сплошь и рядом попадается в высшей математике. Само попадается, его не придумали. Почему попадается - неизвестно...
Значки логарифмов по этим основаниям имеют своё написание.
log10b = lgb
Основание 10 не пишется, буква "о" пропадает. Такие логарифмы называются десятичными. И
logeb = lnb
Логарифмы по основанию " е " называются натуральными. Хотя чего уж там натурального....
Эти логарифмы ничем не отличаются от всех остальных! Ни по определению, ни по свойствам! Решение этих логарифмов ничем не отличается от решения обычных!
Пора переходить к лаконичным математическим формулировкам. К свойствам логарифмов. Популярное выражение "Решение логарифмов" предполагает не только вычисления, но и преобразования. По определённым правилам, естественно.
Запишем знакомое нам выражение:
logab = c
Мы уже хорошо знаем, что если число а (основание) возвести в степень с, то получим число b. Это из самого определения логарифма следует. Стало быть, можно записать:
ac = b
А теперь смотрим, чему же равно число с? Да вот оно:
с = logаb
Подставим это в предыдущую формулу, и получим:
И зачем нам эта перетасовка? Затем, что 4х-этажное выражение превращается в элементарное b! Это хорошее свойство!
Это первая формула свойств логарифмов. Её надо помнить! Единственная формула, где логарифм стоит в показателе степени.
Приведу ещё свойства, которые не требуют специальных выводов, а проистекают из определения логарифма и элементарной логики.
Чему равняется выражение:
logа1 =?
В какую степень надо возвести а, чтобы получить 1? Неужто забыли? Нет? Ну, хорошо! Да, в нулевую! Вот и пишем:
logа1 = 0
Думаю, что следующее свойство уже не требует разъяснений:
logаа = 1
Оставшиеся свойства логарифмов выводить не будем, я их приведу сразу в комплекте. Этот комплект надо знать! Это основа для решения логарифмов.
Свойства логарифмов.
здесь х>0, y>0.
Такой вот джентльменский набор. Много? Да нет. Первые три - понятны. Остаётся всего пять запомнить. Но их надо знать железно. Причем слева направо и справа налево. Особо отмечу последнюю формулу. Это формула перехода к новому основанию логарифма. Ленятся ее, почему-то, запоминать. А в ЕГЭ, бывает, только она и спасает. Мы с ней дружить будем.
Обратите внимание - действия с логарифмами (формулы 4 и 5) возможны только при одинаковых основаниях! А если основания разные!? А вот тут нас как раз спасёт последняя формула.
Ещё отмечу, что эти формулы верны безо всяких оговорок для положительных х и у. В числовых логарифмах так обычно и бывает. А вот в уравнениях придётся модули использовать. Но там мы разберёмся со всеми подводными камнями, не волнуйтесь!
Ну, ладно. Формулы хорошие, решать-то как? Открываю тайну. Все задания на упрощение выражений с логарифмами решаются применением этих хороших формул (во, Америку открыл!). Попробуем, что-нибудь простенькое?
log142 + log147 =?
Оба логарифма ровно не считаются. Смотрим на формулы - свойства и выбираем подходящую. Это четвёртая формула, только справа налево. Подумаешь! Сообразим как-нибудь.
log142 + log147 = log14(2·7) = log1414 = 1
Как видите, свойства логарифмов позволили нам перейти от несчитаемого выражения к чудному числу 1. Собственно, это и есть общая идея решения логарифмов (да и идея математики вообще!) - использование правил, свойств для преобразования плохих выражений (я про математику!) в хорошие.
Надеюсь, всё понятно? Что, слишком элементарно? Ну ладно. Вот примеры чуток посложнее. Вычислить:
log9243 =
2log63+log64 =
log28+log48 =
Ответы (в беспорядке): 2; 2,5; 4,5; 3.
Решилось? Неплохо! А ещё?
Ответы: 1; 3; -2.
Тоже без проблем? Ну ладно. А вот это?
Вычислить:
Ответы: 1; 36; 1; 2; 0,5.
И это получилось? Блеск! Ну что ж, думаю, что решение логарифмов - не самое слабое Ваше место! Можете заглянуть в Раздел 555. Особый. Есть там примерчик для Вас, на десерт... На третьем уровне.
Что, не всё решается? Или ничего не решается? Не переживайте, это дело поправимое. Вам прямая дорога в Раздел 555. Особый. Там подробно рассказано, как свойства логарифмов в дело употреблять. И не только для этих примеров, а и для всех сразу! Даны практические советы, которых вы не найдёте в учебниках. Очень рекомендую!
|
|
|
