 |
Отсчёт углов на тригонометрическом круге.
|
|
|
|
В предыдущем уроке мы освоили базовые понятия. Это понятия тригонометрическая окружность, угол, синус и косинус этого угла. Освоили, что называется, "на пальцах". Главное сделано. Но чтобы толково использовать эти понятия на практике, надо чётко усвоить два момента.
1. Как считаются углы?
2. В чём они считаются?
Первый вопрос прост, но и здесь есть место ошибкам. А второй... Если опросить 10 человек на тему: "Что такое "Пи" в тригонометрических функциях?", лучший ответ будет такой:"Пи - это 180 градусов!" Что, по сути, верно, но уточнять детали лучше уже не надо... Чтобы не испортить впечатление.
Формальное, неосознанное использование понятий очень часто приводит... в лужу. При нестандартных вопросах - почти всегда... Но мы в лужу не собираемся, правда? Сыро там. Работаем.
В этом небольшом уроке разберём первый вопрос.
Итак, как считать углы на тригонометрическом круге?
Смотрим на рисунок.
Он почти такой, как в предыдущем уроке. Есть оси, окружность, угол, всё чин-чинарём. Добавлены номера четвертей - от первой, до четвёртой. А то вдруг кто не знает? Как видите, четверти (их ещё называют красивым словом "квадранты") нумеруются против хода часовой стрелки. Добавлены значения угла на осях. Пока в градусах. Всё понятно, никаких заморочек.
И добавлены две стрелки. С плюсом и минусом. Что они означают? Напомню, что неподвижная сторона угла всегда прибита к положительной части оси ОХ. Так вот, если подвижную сторону угла мы будем крутить по стрелке с плюсом, т.е. по возрастанию номеров четвертей, угол будет считаться положительным. Угол а на картинке - положительный.
Если будем крутить по стрелке с минусом, угол будет считаться отрицательным. Наведите курсор на картинку, увидите угол b. Это отрицательный угол. А ещё вы увидите, как поменялись циферки на осях... Я их тоже перевёл в отрицательные углы.
|
|
|
Вот тут, обычно, начинаются первые непонятки. Как так!? А если отрицательный угол на круге совпадёт с положительным!? Да и вообще, получается что, одно и то же положение подвижной стороны (или точки на числовой окружности) можно обозвать как отрицательным углом, так и положительным!?
Да. Именно так. Скажем, угол 90 градусов занимает на круге точно такое же положение, что и угол в минус 270 градусов. Угол, к примеру +110° градусов занимает точно такое же положение, что и угол -250°.
Зачем?! Как теперь считать углы, если можно и так и этак!? Как правильно!?
Не вопрос. Всяко правильно. Выбор положительного или отрицательного исчисления угла зависит от условия задания. Если в условии ничего не сказано открытым текстом про знак угла, (типа "определить наименьший положительный угол" и т.д.), то работаем с удобными нам величинами.
Исключением (а как без них?!) являются тригонометрические неравенства, но там мы эту фишку освоим.
А теперь вопрос вам. Как я узнал, что положение угла 110° совпадает с положением угла -250°?
Намекну, что это связано с полным оборотом. В 360°... Непонятно? Тогда рисуем круг. Сами рисуем, на бумаге. Отмечаем угол примерно 110°. И считаем, сколько остается до полного оборота. Останется как раз 250°...
Уловили? А теперь - внимание! Если углы 110° и -250° занимают на круге одно и то же положение, то что? Да то, что у углов 110° и -250° совершенно одинаковые синус, косинус, тангенс и котангенс!
Т.е. sin110° = sin(-250°), ctg110° = ctg(-250°) и так далее. Вот это уже действительно важно! И само по себе - есть масса заданий, где надо упростить выражения, и как база для последующего освоения формул приведения и прочих премудростей тригонометрии.
Понятное дело, 110° и -250° я взял наобум, чисто для примера. Всё эти равенства работают для любых углов, занимающих одно положение на круге. 60° и -300°, -75° и 285°, ну и так далее. Отмечу сразу, что углы в этих парочках - разные. А вот тригонометрические функции у них - одинаковые.
|
|
|
Думаю, что такое отрицательные углы вы поняли. Это совсем просто. Против хода часовой стрелки - положительный отсчёт. По ходу - отрицательный. Считать угол положительным, или отрицательным зависит от нас. От нашего желания. Ну, и ещё от задания, конечно... Надеюсь, вы поняли и как переходить в тригонометрических функциях от отрицательных углов к положительным и обратно. Нарисовать круг, примерный угол, да посмотреть, сколько недостаёт до полного оборота, т.е. до 360°.
Займемся углами которые больше 360°. А такие бывают? Бывают, конечно. Как их нарисовать на круге? Да не проблема! Допустим, нам надо понять, в какую четверть попадёт угол в 1000°? Легко! Делаем один полный оборот против хода часовой стрелки (угол-то нам дали положительный!). Отмотали 360°. Ну и мотаем дальше! Ещё оборот - уже получилось 720°. Сколько осталось? 280°. На полный оборот не хватает... Но угол больше 270° - а это граница между третьей и четвёртой четвертью. Стало быть наш угол в 1000° попадает в четвёртую четверть. Всё.
Как видите, это совсем просто. Ещё раз напомню, что угол 1000° и угол 280°, который мы получили путём отбрасывания "лишних" полных оборотов - это, строго говоря, разные углы. Но тригонометрические функции у этих углов совершенно одинаковые! Т.е. sin1000° = sin280°, cos1000° = cos280° и т.д. Если бы я был синусом, я бы не заметил разницы между этими двумя углами...
Ну что, потренируемся?
Отвечаем на вопросы. Сначала простые.
1. В какую четверть попадает угол -325°?
2. В какую четверть попадает угол 3000°?
3. В какую четверть попадает угол -3000°?
4. Какой знак имеет sin555°?
5. Какой знак имеет tg555°?
А теперь вопросы помудрёнее.
6. Привести выражение sin777° к наименьшему положительному углу.
7. Привести выражение cos777° к наибольшему отрицательному углу.
8. Привести выражение cos(-777°) к наименьшему положительному углу.
9. Привести выражение sin(-777°) к наименьшему положительному углу.
Что, вопросы 6-9 озадачили? Привыкайте, на ЕГЭ и не такие формулировочки встречаются... Так и быть, переведу. Только для вас! Вопросы означают, что значение данного синуса, косинуса должно остаться неизменным, а значение угла нужно выбрать (из бесконечного множества) как просят в задании.
|
|
|
Ответы выдам по порядку (в нарушение наших правил). А что делать, знака всего два, а четверти всего четыре... Не разбежишься в вариантах.
1. 1.
2. 2.
3. 3.
4. "-".
5. "+".
6. sin57°.
7. cos(-57°).
8. cos57°.
9. sin237°.
Думается мне, что первые пять вопросов труда не составили. Одной левой! Но если первые три смутили... С такими проблемами двигаться дальше - вряд ли получится... Единственное спасение - Раздел 555, "Практическая работа с тригонометрическим кругом".)
Предполагаю, что вопросы 6 - 9 кое-кого озадачили.
И думается мне, что ответы на вопросы 6 -9 озадачили уже многих... Особенно 237°, правда? А я предупреждал, что в элементарных правилах отсчёта углов есть место для ошибок... Хотя изложенных на сайте материалов вполне достаточно для решения этих задачек.
В следующем уроке мы разберёмся с загадочными радианами и числом "Пи". Научимся легко и правильно переводить градусы в радианы и обратно. И с удивлением обнаружим, что этой элементарной информации на сайте уже хватает, чтобы решать некоторые нестандартные задачки по тригонометрии!
|
|
|
