 |
Формулы корней. Свойства квадратных корней.
|
|
|
|
Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно "не очень..."
И для тех, кто "очень даже...")
В предыдущем уроке мы разобрались, что такое квадратный корень. Пришла пора разобраться, какие существуют формулы для корней, каковы свойства корней, и что со всем этим можно делать.
Формулы корней, свойства корней и правила действий с корнями - это, по сути, одно и то же. Формул для квадратных корней на удивление немного. Что, безусловно, радует! Вернее, понаписать всяких формул можно много, но для практической и уверенной работы с корнями достаточно всего трёх. Все остальное из этих трёх проистекает. Хотя и в трех формулах корней многие плутают, да...
Начнём с самой простой. Вот она:
Напоминаю (из предыдущего урока): а и b - неотрицательные числа! Иначе формула смысла не имеет...
Это свойство корней, как видите простое, короткое и безобидное. Но с помощью этой формулы корней можно делать массу полезных вещей! Разберём на примерах все эти полезные вещи.
Полезная вещь первая. Эта формула позволяет нам умножать корни.
Как умножать корни?
Да очень просто. Прямо по формуле. Например:
Казалось бы, умножили, и что? Много ли радости?! Согласен, немного... А вот как вам такой пример?
Из множителей корни ровно не извлекаются. А из результата - отлично! Уже лучше, правда? На всякий случай сообщу, что множителей может быть сколько угодно. Формула умножения корней всё равно работает. Например:
Так, с умножением всё ясно, зачем нужно это свойство корней - тоже понятно.
Полезная вещь вторая. Внесение числа под знак корня.
Как внести число под корень?
Предположим, что у нас есть вот такое выражение:
|
|
|
Можно ли спрятать двойку внутрь корня? Легко! Если из двойки сделать корень, сработает формула умножения корней. А как из двойки корень сделать? Да тоже не вопрос! Двойка - это корень квадратный из четырёх!
Вот и пишем:
Корень, между прочим, можно сделать из любого неотрицательного числа! Это будет корень квадратный из квадрата этого числа. 3 - корень из 9. 8 - корень из 64. 11 - корень из 121. Ну, и так далее.
Конечно, расписывать так подробно нужды нет. Разве что, для начала... Достаточно сообразить, что любое неотрицательное число, умноженное на корень, можно внести под корень. Но - не забывайте! - под корнем это число станет квадратом самого себя. Это действие - внесение числа под корень - можно ещё назвать умножением числа на корень. В общем виде можно записать:
Процедура простая, как видите. А зачем она нужна?
Как и любое преобразование, эта процедура расширяет наши возможности. Возможности превратить жестокое и неудобное выражение в мягкое и пушистое). Вот вам простенький пример:
Как видите, свойство корней, позволяющее вносить множитель под знак корня, вполне годится для упрощения.
Кроме того, внесение множителя под корень позволяет легко и просто сравнивать значения различных корней. Безо всякого их вычисления и калькулятора! Третья полезная вещь.
Как сравнивать корни?
Это умение очень важно в солидных заданиях, при раскрытии модулей и прочих крутых вещах.
Сравните вот эти выражения. Какое из них больше? Без калькулятора! С калькулятором каждый... э-э-э... короче, каждый справится!)
Так сразу и не скажешь... А если внести числа под знак корня?
и
Запомним (вдруг, не знали?): если число под знаком корня больше, то и сам корень - больше! Отсюда сразу правильный ответ, безо всяких сложных вычислений и расчётов:
и, следовательно:
Здорово, да? Но и это ещё не всё! Вспомним, что все формулы работают как слева направо, так и справа налево. Мы пока формулу умножения корней слева направо употребляли. Давайте запустим это свойство корней наоборот, справа налево. Вот так:
|
|
|
И какая разница? Разве это что-то даёт!? Конечно! Сейчас сами увидите.
Предположим, нам нужно извлечь (без калькулятора!) корень квадратный из числа 6561. Кое-кто на этом этапе и падёт в неравной борьбе с задачей... Но мы упорные, мы не сдаёмся! Полезная вещь четвёртая.
|
|
|
