 |
Последовательное соединение элементов в цепи
|
|
|
|
Рассмотрим цепь, приведенную на рис. 3.1, активное сопротивление которой r, индуктивность L и емкость С.
Рисунок 3.1
При напряжении 
в цепи протекает ток 
. По второму закону Кирхгофа
. (3.1)
Полученное уравнение преобразуется в дифференциальное уравнение второго порядка, решение которого состоит из общего решения однородного уравнения и частного решения. Общее решение однородного уравнения определяет составляющую переходного процесса, которая имеет место в течение относительно короткого промежутка времени после начала перехода цепи в другое установившееся состояние. Найдем частное решение, определяющее ток в цепи после окончания переходного процесса, когда в ней будет протекать установившийся переменный ток.
Частным решением является выражение синусоидального тока , для которого нужно найти амплитуду Im и фазовый угол ψi (или угол сдвига по фазе φ = ψu – ψi).
На основании уравнения (3.1) можно записать
. (3.2)
В соответствии с уравнением (3.2) построим векторную диаграмму (рис. 3.2). На выбор исходного вектора 
не налагается каких-либо условий – направим этот вектор вертикально вверх. Все векторы будем изображать в принятом масштабе.
Рисунок 3.2
В фазе с вектором тока находится вектор активной составляющей напряжения 
. Под углом π/2 в сторону опережения относительно вектора направим вектор индуктивной составляющей напряжения 
, а под углом π/2 в сторону отставания – вектор емкостной составляющей напряжения 
. Геометрическая сумма всех векторов действующих величин определит вектор действующего напряжения 
на зажимах цепи.
Из прямоугольного треугольника ОBF имеем
. (3.3)
Тогда
. (3.4)
|
|
|
Сдвиг по фазе φ между напряжением и током определится выражением
. (3.5)
Сопротивление цепи, определяемое формулой
, (3.6)
называется полным сопротивлением цепи. Реактивным называется сопротивление x = xL – xC. Если в цепи преобладает индуктивное сопротивление, то реактивное сопротивление положительно, разность фаз напряжения и тока положительна (φ > 0) и напряжение цепи опережает ток. Если в цепи преобладает емкостное сопротивление, то реактивное сопротивление отрицательно, разность фаз отрицательна (φ < 0) и ток цепи опережает напряжение.
В подобных цепях угол φ сдвига по фазе может изменяться в пределах 
. 
Для комплексных действующих значений можно записать:
. (3.7)
Величина 
является комплексным полным сопротивлением (сопротивлением в символическом виде) и состоит из вещественной и мнимой частей:
. (3.8)
Аналогично закону Ома комплексный ток определяется выражением:
. (3.9)
Вектор приложенного напряжения можно рассматривать как геометрическую сумму векторов 
и 
. Вектор совпадает по фазе с вектором тока, а вектор 
перпендикулярен вектору тока.
В полученном треугольнике напряжений находится в фазе с током и называется активной составляющей напряжения:
. (3.10)
Напряжение сдвинуто по фазе на угол π/2 относительно тока и называется реактивной составляющей напряжения:
. (3.11)
Напряжение на зажимах цепи
. (3.12)
Треугольники напряжений при φ > 0 и φ < 0 представлены соответственно на рис. 3.3,а и 3.3,б.
а) б) в) г)
Рисунок 3.3
Напряжение на зажимах цепи и активное сопротивление всегда положительны. Реактивное напряжение может быть положительным (при φ > 0) или отрицательным (при φ < 0).
Треугольник сопротивлений получается из треугольника напряжений. Треугольники напряжений и сопротивлений подобны. Длины сторон треугольника сопротивлений определяются путем деления соответствующих напряжений на значение тока. Гипотенуза треугольника сопротивлений изображает полное сопротивление цепи, катеты активное и реактивное сопротивления. При φ > 0 сторона треугольника jx направлена влево от катета r – преобладает индуктивное сопротивление; при φ < 0 сторона треугольника –jx направлена вправо – преобладает емкостное сопротивление.
|
|
|
Из треугольника сопротивлений находим соотношения:
. (3.13)
|
|
|
