Практически невозможные и практически достоверные события. Принцип практической универсальности

В n° 2.2 мы познакомились с понятиями невозможного и достоверного события. Вероятность невозможного события, равная нулю, и вероятность достоверного события, равная единице, занимают крайние положения на шкале вероятностей.

На практике часто приходится иметь дело не с невозможными и достоверными событиями, а с так называемыми «практически невозможными» и «практически достоверными» событиями.

Практически невозможным событием называется событие, вероятность которого не в точности равна нулю, но весьма близка к нулю.

Рассмотрим, например, следующий опыт: 32 буквы разрезной азбуки смешаны между собой; вынимается одна карточка, изображенная на ней буква записывается, после чего вынутая карточка возвращается обратно, и карточки перемешиваются. Такой опыт производится 25 раз. Рассмотрим событие А, заключающееся в том, что после 25 выниманий мы запишем первую строку «Евгения Онегина»:

«Мой дядя самых честных правил».

Такое событие не является логически невозможным; можно подсчитать его вероятность, которая равна ; но ввиду того, что вероятность события А ничтожно мала, можно считать его практически невозможным.

Практически достоверным событием называется событие, вероятность которого не в точности равна единице, но весьма близка к единице.

Если какое-либо событие в данном опыте практически невозможно, то противоположное ему событие , состоящее в невыполнении события , будет практически достоверным. Таким образом, с точки зрения теории вероятностей все равно, о каких событиях говорить: о практически невозможных или о практически достоверных, так как они всегда сопутствуют друг другу.

Практически невозможные и практически достоверные события играют большую роль в теории вероятностей; на них основывается все практическое применение этой науки.

В самом деле, если нам известно, что вероятность события в данном опыте равна 0,3, это еще не дает нам возможности предсказать результат опыта. Но если вероятность события в данном опыте ничтожно мала или, наоборот, весьма близка к единице, это дает нам возможность предсказать результат опыта; в первом случае мы не будем ожидать появления события ; во втором случае будем ожидать его с достаточным основанием. При таком предсказании мы руководствуемся так называемым принципом практической уверенности, который можно сформулировать следующим образом.

Если вероятность некоторого события в данном опыте весьма мала, то можно быть практически уверенным в том, что при однократном выполнении опыта событие не произойдет.

Иными словами, если вероятность события в данном опыте весьма мала, то, приступая к выполнению опыта, можно организовать свое поведение так, как будто это событие вообще невозможно, т.е. не рассчитывая совсем на его появление.

В повседневной жизни мы непрерывно бессознательно пользуемся принципом практической уверенности. Например, выезжая в путешествие по железной дороге, мы все свое поведение организуем, не считаясь с возможностью железнодорожной катастрофы, хотя некоторая, весьма малая, вероятность такого события все же имеется.

Принцип практической уверенности не может быть доказан математическими средствами; он подтверждается всем практическим опытом человечества.

Вопрос о том, насколько мала должна быть вероятность события, чтобы его можно было считать практически невозможным, выходит за рамки математической теории и в каждом отдельном случае решается из практических соображений в соответствии с той важностью, которую имеет для нас желаемый результат опыта.

Например, если вероятность отказа взрывателя при выстреле равна 0,01, мы еще можем помириться с этим и считать отказ взрывателя практически невозможным событием. Напротив, если вероятность отказа парашюта при прыжке также равна 0,01, мы, очевидно, не можем считать этот отказ практически невозможным событием и должны добиваться большей надежности работы парашюта.

Одной из важнейших задач теории вероятностей является выявление практически невозможных (или практически достоверных) событий, дающих возможность предсказывать результат опыта, и выявление условий, при которых те или иные события становятся практически невозможными (достоверными). Существует ряд теорем теориивероятностей – так называемых предельных теорем, в которых устанавливается существование событий, становящихся практически невозможными (достоверными) при увеличении числа опытов или при увеличении числа случайных величин, участвующих в задаче. Примером такой предельной теоремы является уже сформулированная теорема Бернулли (простейшая форма закона больших чисел). Согласно теореме Бернулли при большом числе опытов событие, заключающееся в том, что разность между частотой события и его вероятностью сколь угодно мала, становится практически достоверным.

Наряду с практически невозможными (достоверными) событиями, которые позволяют с уверенностью предсказывать исход опыта, несмотря на наличие случайности, в теории вероятностей большую роль играют особого типа случайные величины, которые, хотя и являются случайными, но имеют такие незначительные колебания, что практически могут рассматриваться как не случайные. Примером такой «почти не случайной» величины может служить частота события при большом числе опытов. Эта величина хоть и является случайной, но при большом числе опытов практически может колебаться только в очень узких пределах вблизивероятности события.

Такие «почти не случайные» величины дают возможность предсказывать численный результат опыта, несмотря на наличие в нем элементов случайности, оперируя с этим результатом столь же уверенно, как мы оперируем с данными, которые доставляются обычными методами точных наук.