 |
Теорема сложения вероятностей
|
|
|
|
Теорема сложения вероятностей формулируется следующим образом.
Вероятность суммы двух несовместимых событий равна сумме вероятностей этих событий:
. (3.2.1)
Докажем теорему сложения вероятностей для схемы случаев. Пусть возможные исходы опыта сводятся к совокупности случаев, которые мы для наглядности изобразим в виде n точек:
Предположим, что из этих случаев 
благоприятны событию 
, а 
– событию 
. Тогда
Так как события и несовместимы, то нет таких случаев, которые благоприятны и , и вместе. Следовательно, событию 
благоприятны 
случаев и
Подставляя полученные выражения в формулу (3.2.1), получим тождество. Теорема доказана.
Обобщим теорему сложения на случай трех событий. Обозначая событие буквой 
, и присоединяя к сумме еще одно событие 
, легко доказать, что
Очевидно, методом полной индукции можно обобщить теорему сложения на произвольное число несовместных событий. Действительно, предположим, что она справедлива для n событий:
и докажем, что она будет справедлива для 
событий:
Обозначим:
Имеем:
.
Но так как для n событий мы считаем теорему уже доказанной, то
,
откуда
,
что и требовалось доказать.
Таким образом, теорема сложения вероятностей применима к любому числу несовместных событий. Её удобнее записать в виде:
. (3.2.2)
Отметим следствия, вытекающие из теоремы сложения вероятностей.
Следствие 1. Если события 
образуют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностейравна единице:
.
Доказательство. Так как события образуют полную группу, то появление хотя бы одного из них – достоверное событие:
.
Так как - несовместные события, то к ним применима теорема сложения вероятностей
|
|
|
,
откуда
,
что и требовалось доказать.
Перед тем как вывести второе следствие теоремы сложения, определим понятие о «противоположных событиях».
Противоположными событиями называются два несовместных события, образующих полную группу.
Событие, противоположное событию , принято обозначать 
.
Примеры противоположных событий.
1) – попадание при выстреле, - промах при выстреле;
2) – выпадение герба при бросании монеты, 
- выпадение цифры при бросании монеты;
3) – безотказная работа всех элементов технической системы, 
- отказ хотя бы одного элемента;
4) – обнаружение не менее двух бракованных изделий в контрольной партии, 
- обнаружение не более одного бракованного изделия.
Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:
.
Это следствие есть частный случай следствия 1. Оно выделено особо ввиду его большой важности в практическом применении теории вероятностей. На практике весьма часто оказывается легче вычислить вероятностьпротивоположного события , чем вероятность прямого события . В этих случаях вычисляют 
и находят 
.
Рассмотрим несколько примеров на применение теоремы сложения и её следствий.
Пример 1. В лотерее 1000 билетов; из них на один билет падает выигрыш 500 руб., на 100 билетов – выигрыши по 100 руб., на 50 билетов – выигрыши по 20 руб., на 100 билетов – выигрыши по 5 руб., остальные билеты невыигрышные. Некто покупает один билет. Найти вероятность выиграть не менее 20 руб.
Решение. Рассмотрим события:
– выиграть не менее 20 руб.,
- выиграть 20 руб.,
- выиграть 100 руб.,
- выиграть 500 руб.
Очевидно,
.
По теореме сложения вероятностей
.
Пример 2. Производится бомбометание по трем складам боеприпасов, причем сбрасывается одна бомба.Вероятность попадания в первый склад 0,01; во второй 0,008; в третий 0,025. При попадании в один из складов взрываются все три. Найти вероятность того, что склады будут взорваны.
|
|
|
Решение. Рассмотрим события:
– взрыв складов,
- попадание в первый склад,
- попадание во второй склад,
- попадание в третий склад.
Очевидно,
.
Так как при сбрасывании одной бомбы события 
несовместны, то
.
Пример 3. Круговая мишень (рис. 3.2.1) состоит из трех зон: I, II и III. Вероятность попадания в первую зону при одном выстреле 0,15, во вторую 0,23, в третью 0,17. Найти вероятность промаха.
Рис. 3.2.1.
Решение. Обозначим – промах, - попадание. Тогда
,
где 
- попадание соответственно в первую, вторую и третью зоны
,
откуда
.
Как уже указывалось, теорема сложения вероятностей (3.2.1) справедлива только для несовместных событий. В случае, когда события и совместны, вероятность суммы этих событий выражается формулой
. (3.2.3)
В справедливости формулы (3.2.3) можно наглядно убедиться, рассматривая рисунок 3.2.2.
Рис. 3.2.2.
Аналогично вероятность суммы трех совместных событий вычисляется по формуле
.
Справедливость этой формулы также наглядно следует из геометрической интерпретации (рис. 3.2.3).
Рис. 3.2.3.
Методом полной индукции можно доказать общую формулу для вероятности суммы любого числа совместных событий:
, (3.2.4)
где суммы распространяются на различные значения индексов 
, и т.д.
Формула (3.2.4) выражает вероятность суммы любого числа событий через вероятности произведений этих событий, взятых по одному, по два, по три и т.д.
Аналогичную формулу можно написать для произведения событий. Действительно, из рис. 3.2.2 непосредственно ясно, что
. (3.2.5)
Из рис. 3.2.3 видно, что
. (3.2.6)
Общая формула, выражающая вероятность произведения произвольного числа событий через вероятности сумм этих событий, взятых по одному, по два, по три и т.д., имеет вид:
. (3.2.7)
Формулы типа (3.2.4) и (3.2.7) находят практическое применение при преобразовании различных выражений, содержащих вероятности сумм и произведений событий. В зависимости от специфики задачи в некоторых случаях удобнее бывает пользоваться только суммами, а в других только произведениями событий: для преобразования одних в другие и служат подобные формулы.
Пример. Техническое устройство состоит из трех агрегатов: двух агрегатов первого типа - и - и одного агрегата второго типа – . Агрегаты и дублируют друг друга: при отказе одного из них происходит автоматическое переключение на второй. Агрегат не дублирован. Для того, чтобы устройство прекратило работу (отказало), нужно, чтобы одновременно отказали оба агрегата и или же агрегат . Таким образом, отказ устройства – событие – представляется в виде:
|
|
|
,
где - отказ агрегата , - отказ агрегата , – отказ агрегата .
Требуется выразить вероятность события через вероятности событий, содержащих только суммы, а не произведения элементарных событий , и .
Решение. По формуле (3.2.3) имеем:
; (3.2.8)
по формуле (3.2.5)
;
по формуле (3.2.6)
.
Подставляя эти выражения в (3.2.8) и производя сокращения, получим:
.
|
|
|
