Теорема гипотез (формула Бейеса)
Следствием теоремы умножения и формулы полной вероятности является так называемая теорема гипотез, или формула Бейеса. Поставим следующую задачу. Имеется полная группа несовместных гипотез Здесь, по существу, речь идет о том, чтобы найти условную вероятность Из теоремы умножения имеем:
или, отбрасывая левую часть,
откуда
Выражая
Формула (3.5.1) и носит название формулы Бейеса или теоремы гипотез. Пример 1. Прибор может собираться из высококачественных деталей и из деталей обычного качества; вообще около 40% приборов собирается из высококачественных деталей. Если прибор собран из высококачественных деталей, его надежность (вероятность безотказной работы) за время Решение. Возможны две гипотезы:
Вероятность этих гипотез до опыта:
В результате опыта наблюдено событие Условные вероятности этого события при гипотезах По формуле (3.5.1) находим вероятность гипотезы
Пример 2. Два стрелка независимо друг от друга стреляют по одной мишени, делая каждый по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка 0,8, для второго 0,4. После стрельбы в мишени обнаружена одна пробоина. Найти вероятность того, что эта пробоина принадлежит первому стрелку.
Решение. До опыта возможны следующие гипотезы:
Вероятность этих гипотез: Условные вероятности наблюденного события После опыта гипотезы Следовательно, вероятность того, что пробоина принадлежит первому стрелку, равна Пример 3. Производится наблюдение за некоторым объектом с помощью двух наблюдательных станций. Объект может находиться в двух различных состояниях Спрашивается: какому из сообщений верить? Решение. Естественно, верить тому из сообщений, для которого больше вероятность того, что оно соответствует истине. Применим формулу Бейеса. Для этого сделаем гипотезы о состоянии объекта:
Наблюденное событие Найдем условные вероятности наблюденного события
Аналогично
Применяя формулу Бейеса, найдем вероятность того, что истинное состояние объекта -
т.е. из двух сообщений более правдоподобным является сообщение первой станции.
ГЛАВА 4 ПОВТОРЕНИЕ ОПЫТОВ
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|