Теорема умножения вероятностей
Перед тем, как излагать теорему умножения вероятностей, введем еще одно важное понятие: понятие о независимых и зависимых событиях. Событие Событие Рассмотрим примеры. 1) Опыт состоит в бросании двух монет; рассматриваются события:
В данном случае вероятность события 2) В урне два белых шара и один черный; два лица вынимают из урны по одному шару; рассматриваются события:
Вероятность события Вероятность события
Для условий последнего примера
Условие независимости события
а условие зависимости – в виде:
Перейдем к формулировке и доказательству теоремы умножения вероятностей. Теорема умножения вероятностей формулируется следующим образом. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятностей одного из них на условную вероятностьдругого, вычисленную при условии, что первое имело место:
Докажем теорему умножения для схемы случаев. Пусть возможные исходы опыта сводятся к Предположим, что событию
Вычислим
Подставляя выражения Очевидно, при применении теоремы умножения вполне безразлично, какое из событий
Отметим следствия, вытекающие из теоремы умножения. Следствие 1. Если событие Доказательство. Дано, что событие
Требуется доказать, что и событие
При доказательстве будем предполагать, что Напишем теорему вероятности в двух формах:
откуда или, согласно условию (3.3.2),
Разделим обе части равенства (3.3.3) на
что и требовалось доказать. Из следствия 1 вытекает, что зависимость или независимость событий всегда взаимны. В связи с этим модно дать следующее новое определение независимых событий. Два события называются независимыми, если появление одного из них не изменяет вероятности появления другого. Понятие независимости событий может быть распространено на случай произвольного числа событий. Несколько событий называются независимыми, если любое из них не зависит от любой совокупности остальных.
Следствие 2. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. Следствие непосредственно вытекает из определения независимых событий. Теорема умножения вероятностей может быть обобщена на случай произвольного числа событий. В общем виде она формулируется так. Вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероятностей этих событий, причем вероятность каждого следующего по порядку события вычисляется при условии, что все предыдущие имели место:
Доказательство может быть дано тем же методом полной индукции. В случае независимых событий теорема упрощается и принимает вид:
т.е. вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. Применяя знак произведения, теорему можно записать в виде:
Рассмотрим примеры на применение теоремы умножения вероятностей. Пример 1. В урне 2 белых и 3 черных шара. Из урны вынимают подряд два шара. Найти вероятность того, что оба шара белые. Решение. Обозначим:
Событие
где По теореме умножения вероятностей
Пример 2. Те же условия, но после первого вынимания шар возвращается в урну, и шары в урне перемешиваются. Решение. В данном случае события
Пример 3. Прибор, работающий в течение времени Решение. Обозначая:
имеем:
откуда по теореме умножения для независимых событий
На практике сравнительно редко встречаются задачи, в которых нужно применять только теорему сложения или только теорему умножения вероятностей. Обычно обе теоремы приходиться применять совместно. При этом, как правило, событие, вероятность которого требуется определить, представляется в виде суммы нескольких несовместных событий (вариантов данного события), каждое из которых в свою очередь являетсяпроизведением событий.
Пример 4. Производится три выстрела по одной и той же мишени. Вероятности попадания при первом, втором и третьем выстрелах равны соответственно Найти вероятность того, что в результате этих трех выстрелов в мишени будет ровно одна пробоина. Решение. Рассмотрим событие
где Применяя теоремы сложения и умножения вероятностей и пользуясь свойством противоположных событий, находим:
Пример 5. В условиях предыдущего примера найти вероятность того, что в мишени будет хотя бы одна пробоина. Решение. Рассмотрим событие
найти вероятность каждого варианта по теореме умножения и все эти вероятности сложить. Однако такой путь решения задачи слишком сложен; здесь целесообразно от прямого события
Очевидно,
По теореме умножения
откуда
На последнем примере проиллюстрирован принцип целесообразности применения противоположных событий втеории вероятностей. Его можно сформулировать следующим образом. Если противоположное событие распадается на меньшее число вариантов, чем прямое событие, то имеет смысл при вычислении вероятностей переходить к противоположному событию.
Пример 6. Происходит бой («дуэль») между двумя участниками (летательными аппаратами, танками, кораблями) Решение. Рассмотрим события:
Для выполнения события
Перейдем к событию где По теореме сложения вероятностей
По условию 1) первый выстрел стороны 2) ответный выстрел стороны 3) последний (второй) выстрел стороны По теореме умножения вероятностей
откуда
Пример 7. Цель, по которой ведется стрельба, состоит из трех различных по уязвимости частей. Для поражения цели достаточно одного попадания в первую часть, или двух попаданий во вторую, или трех попаданий в третью. Если снаряд попал в цель, то вероятность ему попасть в ту или другую часть пропорциональна площади этой части. На проекции цели на плоскость, перпендикулярную направлению стрельбы, первая, вторая и третья части занимают относительные площади 0,1, 0,2 и 0,7. Известно, что в цель попало ровно два снаряда. Найти вероятность того, что цель будет поражена. Решение. Обозначим
Пример 8. Для условий предыдущего примера найти вероятность поражения цели, если известно, что в нее попало три снаряда. Решение. Решим задачу двумя способами: через прямое и противоположное событие. Прямое событие – поражение цели при трех попаданиях – распадается на четыре несовместных варианта:
Вероятность первого варианта находим аналогично предыдущему примеру:
Найдем вероятность второго варианта. Три попавших снаряда могут распределиться по второй и третьей частям нужным образом (два во вторую и один – в третью) тремя способами (
Далее находим:
Отсюда
Однако проще решается задача, если перейти к противоположному событию – непоражению цели при трех попаданиях. Это событие может осуществиться только одним способом: если два снаряда из трех попадут в третью часть, а один – во вторую. Таких комбинаций может быть три (
откуда
Пример 9. Монета бросается 6 раз. Найти вероятность того, что выпадет больше гербов, чем цифр. Решение. Для нахождения вероятности интересующего нас события
и т.д. Однако проще будет применить другой прием. Перечислим все возможные исходы опыта:
События
Так как задача симметрична относительно «герба» и «цифры»,
откуда и
Найдем вероятность события
отсюда
Пример 10. Прибор состоит из четырех узлов: Решение. Рассмотрим совокупность узлов
Очевидно,
откуда
Найдем вероятность события
и
Имеем:
аналогично
откуда
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|