Вероятность попадания случайной величины на заданный участок
При решении практических задач, связанных со случайными величинами, часто оказывается необходимым вычислить вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в некоторых пределах, например, от Условимся для определенности левый конец
Выразим вероятность этого события через функцию распределения величины событие А, состоящее в том, что событие В, состоящее в том, что событие С, состоящее в том, что Учитывая, что
или
откуда
т.е. вероятность попадания случайной величины на заданный участок равна приращению функции распределенияна этом участке. Будем неограниченно уменьшать участок
Значение этого предела зависит от того, непрерывна ли функция В дальнейшем изложении мы условимся называть «непрерывными» только те случайные величины,функция распределения которых везде непрерывна. Имея это в виду, можно сформулировать следующее положение: Вероятность любого отдельного значения непрерывной случайной величины равна нулю. Остановимся на этом положении несколько подробнее. В данном курсе мы уже встречались с событиями, вероятности которых были равны нулю: это были невозможные события. Теперь мы видим, что обладать нулевой вероятностью могут не только невозможные, но и возможные события. Действительно, событие
Понятие о событии «возможном, но обладающем нулевой вероятностью» кажется на первый взгляд парадоксальным. В действительности оно не более парадоксально, чем представление о теле, имеющем определенную массу, тогда как ни одна из точек внутри тела определенной конечной массой не обладает. Сколь угодно малый объем, выделенный из тела, обладает определенной конечной массой; эта масса приближается к нулю по мере уменьшения объема и в пределе равна нулю до точки. Аналогично при непрерывномраспределении вероятностей вероятность попадания на сколь угодно малый участок может быть отлична от нуля, тогда как вероятность попадания в строго определенную точку в точности равна нулю. Если производится опыт, в котором непрерывная случайная величина Из того, что событие
Если событие В n° 5.1 мы познакомились с «механической» интерпретацией прерывной случайной величины как распределения единичной массы, сосредоточенной в нескольких изолированных точках на оси абсцисс. В случае непрерывной случайной величины механическая интерпретация сводится к распределению единичной массы не по отдельным точкам, а непрерывно по оси абсцисс, причем ни одна точка не обладает конечной массой. Плотность распределения Пусть имеется непрерывная случайная величина
т.е. приращение функции распределения на этом участке. Рассмотрим отношение этой вероятности к длине участка, т.е. среднюю вероятность, приходящуюся на единицу длины на этом участке, и будем приближать
Введем обозначение:
Функция Термины «плотность распределения», «плотность вероятности» становятся особенно наглядными при пользовании механической интерпретацией распределения; в этой интерпретации функция Рис. 5.4.1. Плотность распределения, так же как и функция распределения, есть одна из форм закона распределения. В противоположность функции распределения эта форма не является универсальной: она существует только длянепрерывных случайных величин.
Рассмотрим непрерывную случайную величину Рис. 5.4.2. Выразим вероятность попадания величины
*) Так как вероятность любого отдельного значения непрерывной случайной величины равна нулю, то можно рассматривать здесь отрезок Геометрически вероятность попадания величины Рис. 5.4.3. Формула (5.4.2.) выражает плотность распределения через функцию распределения. Зададимся обратной задачей: выразить функцию распределения через плотность. По определению
откуда по формуле (5.4.3) имеем:
Геометрически Рис. 5.4.4. Укажем основные свойства плотности распределения. 1. Плотность распределения есть неотрицательная функция:
Это свойство непосредственно вытекает из того, что функция распределения 2. Интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения равен единице:
Это следует из формулы (5.4.4) и из того, что Геометрически основные свойства плотности распределения означают, что: 1) вся кривая распределения лежит не ниже оси абсцисс; 2) полная площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс, равна единице. Выясним размерность основных характеристик случайной величины – функции распределения и плотности распределения. Функция распределения
Пример 1. Функция распределения непрерывной случайной величины Х задана выражением а) Найти коэффициент а. б) Найти плотность распределения в) Найти вероятность попадания величины Решение. а) Так как функция распределения величины б) Плотность распределения величины в) По формуле (5.3.1) имеем:
Пример 2. Случайная величина
а) Найти коэффициент а. б) Построить график плотности распределения в) Найти функцию распределения г) Найти вероятность попадания величины Решение. а) Для определения коэффициента а воспользуемся свойством плотности распределения:
откуда б) График плотности Рис. 5.4.5. в) По формуле (5.4.4) получаем выражение функции распределения: График функции Рис. 5.4.6. г) По формуле (5.3.1) имеем:
Тот же результат, но несколько более сложным путем, можно получить по формуле (5.4.3). Пример 3. Плотность распределения случайной величины
а) Построить график плотности б) Найти вероятность того, что величина Решение. а) График плотности дан на рис. 5.4.7. Рис. 5.4.7. б) По формуле (5.4.3) имеем:
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|