Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Вероятность попадания случайной величины на заданный участок

При решении практических задач, связанных со случайными величинами, часто оказывается необходимым вычислить вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в некоторых пределах, например, от до . Это событие мы будем называть «попаданием случайной величины на участок от до ».

Условимся для определенности левый конец включать в участок , а правый – не включать. Тогда попадание случайной величины на участок равносильно выполнению неравенства:

Выразим вероятность этого события через функцию распределения величины . Для этого рассмотрим три события:

событие А, состоящее в том, что ;

событие В, состоящее в том, что ;

событие С, состоящее в том, что .

Учитывая, что , по теореме сложения вероятностей имеем:

или

откуда

, (5.3.1)

т.е. вероятность попадания случайной величины на заданный участок равна приращению функции распределенияна этом участке.

Будем неограниченно уменьшать участок , полагая, что . В пределе вместо вероятности попадания на участок получим вероятность того, что величина примет отдельно взятое значение :

. (5.3.2)

Значение этого предела зависит от того, непрерывна ли функция в точке или же терпит разрыв. Если в точке функция имеет разрыв, то предел (5.3.2.) равен значению скачка функции в точке . Если же функция в точке непрерывна, то этот предел равен нулю.

В дальнейшем изложении мы условимся называть «непрерывными» только те случайные величины,функция распределения которых везде непрерывна. Имея это в виду, можно сформулировать следующее положение:

Вероятность любого отдельного значения непрерывной случайной величины равна нулю.

Остановимся на этом положении несколько подробнее. В данном курсе мы уже встречались с событиями, вероятности которых были равны нулю: это были невозможные события. Теперь мы видим, что обладать нулевой вероятностью могут не только невозможные, но и возможные события. Действительно, событие , состоящее в том, что непрерывная случайная величина примет значение , возможно, однако вероятность его равна нулю. Такие события – возможные, но с нулевой вероятностью – появляются только при рассмотрении опытов, не сводящихся к схеме случаев.

Понятие о событии «возможном, но обладающем нулевой вероятностью» кажется на первый взгляд парадоксальным. В действительности оно не более парадоксально, чем представление о теле, имеющем определенную массу, тогда как ни одна из точек внутри тела определенной конечной массой не обладает. Сколь угодно малый объем, выделенный из тела, обладает определенной конечной массой; эта масса приближается к нулю по мере уменьшения объема и в пределе равна нулю до точки. Аналогично при непрерывномраспределении вероятностей вероятность попадания на сколь угодно малый участок может быть отлична от нуля, тогда как вероятность попадания в строго определенную точку в точности равна нулю.

Если производится опыт, в котором непрерывная случайная величина должна принять одно из своих возможных значений, то до опыта вероятность каждого из таких значений равна нулю; однако в исходе опытаслучайная величина непременно примет одно из своих возможных значений, т. е. заведомо произойдет одно из событий, вероятности которых были равны нулю.

Из того, что событие имеет вероятность, равную нулю, вовсе не следует, что это событие не будет появляться, т.е. что частота этого события равна нулю. Мы знаем, что частота события при большом числе опытов не равна, а только приближается к вероятности. Из того, что вероятность события равна нулю, следует только, что при неограниченном повторении опыта это событие будет появляться сколь угодно редко.

Если событие в данном опыте возможно, но имеет вероятность, равную нулю, то противоположное ему событие имеет вероятность, равную единице, но недостоверно. Для непрерывной случайной величины при любом событие имеет вероятность, равную единице, однако это событие не достоверно. Такое событие при неограниченном повторении опыта будет происходить почти всегда, но не всегда.

В n° 5.1 мы познакомились с «механической» интерпретацией прерывной случайной величины как распределения единичной массы, сосредоточенной в нескольких изолированных точках на оси абсцисс. В случае непрерывной случайной величины механическая интерпретация сводится к распределению единичной массы не по отдельным точкам, а непрерывно по оси абсцисс, причем ни одна точка не обладает конечной массой.

Плотность распределения

Пусть имеется непрерывная случайная величина с функцией распределения , которую мы предположим непрерывной и дифференцируемой. Вычислим вероятность попадания этой случайной величины на участок от до :

т.е. приращение функции распределения на этом участке. Рассмотрим отношение этой вероятности к длине участка, т.е. среднюю вероятность, приходящуюся на единицу длины на этом участке, и будем приближать к нулю. В пределе получим производную от функции распределения:

. (5.4.1)

Введем обозначение:

. (5.4.2)

Функция - производная функции распределения – характеризует как бы плотность, с которой распределяются значения случайной величины в данной точке. Эта функция называется плотностью распределения (иначе – «плотность вероятности») непрерывной случайной величины .

Термины «плотность распределения», «плотность вероятности» становятся особенно наглядными при пользовании механической интерпретацией распределения; в этой интерпретации функция буквально характеризует плотность распределения масс по оси абсцисс (так называемую «линейную плотность»). Кривая, изображающая плотность распределения случайной величины, называется кривой распределения (рис. 5.4.1).

Рис. 5.4.1.

Плотность распределения, так же как и функция распределения, есть одна из форм закона распределения. В противоположность функции распределения эта форма не является универсальной: она существует только длянепрерывных случайных величин.

Рассмотрим непрерывную случайную величину с плотностью распределения и элементарный участок , примыкающий к точке (рис. 5.4.2). Вероятность попадания случайной величины на этот элементарный участок (с точностью до бесконечно малых высшего порядка) равна . Величина называется элементом вероятности. Геометрически это есть площадь элементарного прямоугольника, опирающегося на отрезок (рис. 5.4.2).

Рис. 5.4.2.

Выразим вероятность попадания величины на отрезок от до (рис 5.4.3) через плотность распределения. Очевидно, она равна сумме элементов вероятности на всем этом участке, т.е. интегралу:

(5.4.3)

*) Так как вероятность любого отдельного значения непрерывной случайной величины равна нулю, то можно рассматривать здесь отрезок , не включая в него левый конец, т.е. отбрасывая знак равенства в .

Геометрически вероятность попадания величины на участок равна площади кривой распределения, опирающейся на этот участок (рис. 5.4.3.).

Рис. 5.4.3.

Формула (5.4.2.) выражает плотность распределения через функцию распределения. Зададимся обратной задачей: выразить функцию распределения через плотность. По определению

откуда по формуле (5.4.3) имеем:

. (5.4.4)

Геометрически есть не что иное, как площадь кривой распределения, лежащая левее точки (рис. 5.4.4).

Рис. 5.4.4.

Укажем основные свойства плотности распределения.

1. Плотность распределения есть неотрицательная функция:

Это свойство непосредственно вытекает из того, что функция распределения есть неубывающая функция.

2. Интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения равен единице:

Это следует из формулы (5.4.4) и из того, что .

Геометрически основные свойства плотности распределения означают, что:

1) вся кривая распределения лежит не ниже оси абсцисс;

2) полная площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс, равна единице.

Выясним размерность основных характеристик случайной величины – функции распределения и плотности распределения. Функция распределения , как всякая вероятность, есть величина безразмерная. Размерность плотности распределения , как видно из формулы (5.4.1), обратна размерности случайной величины.