Теоремы о числовых характеристиках
В предыдущем В настоящем
Математическое ожидание неслучайной величины Если
Сформулированное свойство является достаточно очевидным; доказать его можно, рассматривая неслучайную величину
Дисперсия неслучайной величины Если
Доказательство. По определению дисперсии
Вынесение неслучайной величины за знак математического ожидания Если
т. е. неслучайную величину можно выносить за знак математического ожидания. Доказательство.
а) Для прерывных величин
б) Для непрерывных величин
Вынесение неслучайной величины за знак дисперсии и среднего квадратического отклонения Если
т. е. неслучайную величину можно выносить за знак дисперсии, возводя ее в квадрат. Доказательство. По определению дисперсии
Следствие
т. е. неслучайную величину можно выносить за знак среднего квадратического отклонения ее абсолютным значением. Доказательство получим, извлекая корень квадратный из формулы (10.2.2) и учитывая, что с.к.о. - существенно положительная величина.
Математическое ожидание суммы случайных величин Докажем, что для любых двух случайных величин
т. е. математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме их математических ожиданий. Это свойство известно под названием теоремы сложения математических ожиданий. Доказательство. а) Пусть
Ho
следовательно,
Аналогично докажем, что
и теорема доказана. б) Пусть
Преобразуем первый из интегралов (10.2.4):
аналогично
и теорема доказана. Следует специально отметить, что теорема сложения математических ожиданий справедлива для любых случайных величин - как зависимых, так и независимых. Теорема сложения математических ожиданий обобщается на произвольное число слагаемых:
т. е. математическое ожидание суммы нескольких случайных величин равно сумме их математических ожиданий. Для доказательства достаточно применить метод полной индукции.
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|