 |
Математическое ожидание произведения случайных величин
|
|
|
|
Математическое ожидание произведения двух случайных величин равно произведению их математических ожиданий плюс корреляционный момент:
. (10.2.17)
Доказательство. Будем исходить из определения корреляционного момента:
,
где
; 
.
Преобразуем это выражение, пользуясь свойствами математического ожидания:
,
что, очевидно, равносильно формуле (10.2.17).
Если случайные величины 
некоррелированны 
, то формула (10.2.17) принимает вид:
, (10.2.18)
т. е. математическое ожидание произведения двух некоррелированных случайных величин равно произведению их математических ожиданий.
Это положение известно под названием теоремы умножения математических ожиданий.
Формула (10.2.17) представляет собой не что иное, как выражение второго смешанного центрального момента системы через второй смешанный начальный момент и математические ожидания:
. (10.2.19)
Это выражение часто применяется на практике при вычислении корреляционного момента аналогично тому, как для одной случайной величины дисперсия часто вычисляется через второй начальный момент иматематическое ожидание.
Теорема умножения математических ожиданий обобщается и на произвольное число сомножителей, только в этом случае для ее применения недостаточно того, чтобы величины были некоррелированны, а требуется, чтобы обращались в нуль и некоторые высшие смешанные моменты, число которых зависит от числа членов в произведении. Эти условия заведомо выполнены при независимости случайных величин, входящих в произведение. В этом случае
, (10.2.20)
т. е. математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению ихматематических ожиданий.
Это положение легко доказывается методом полной индукции.
|
|
|
Дисперсия произведения независимых случайных величин
Докажем, что для независимых величин 
. (10.2.21)
Доказательство. Обозначим 
. По определению дисперсии
.
Так как величины независимы, 
и
.
При независимых величины 
тоже независимы; следовательно,
, 
и
. (10.2.22)
Но 
есть не что иное, как второй начальный момент величины 
, и, следовательно, выражается через дисперсию:
;
аналогично
.
Подставляя эти выражения в формулу (10.2.22) и приводя подобные члены, приходим к формуле (10.2.21).
В случае, когда перемножаются центрированные случайные величины (величины с математическими ожиданиями, равными нулю), формула (10.2.21) принимает вид:
, (10.2.23)
т. е. дисперсия произведения независимых центрированных случайных величин равна произведению их дисперсий.
Высшие моменты суммы случайных величин
В некоторых случаях приходится вычислять высшие моменты суммы независимых случайных величин. Докажем некоторые относящиеся сюда соотношения.
1) Если величины независимы, то
. (10.2.24)
Доказательство.
,
откуда по теореме умножения математических ожиданий
.
Но первый центральный момент 
для любой величины равен нулю; два средних члена обращаются в нуль, и формула (10.2.24) доказана.
Соотношение (10.2.24) методом индукции легко обобщается на произвольное число независимых слагаемых:
. (10.2.25)
2) Четвертый центральный момент суммы двух независимых случайных величин выражается формулой
. (10.2.26)
где 
- дисперсии величин и 
.
Доказательство совершенно аналогично предыдущему.
Методом полной индукции легко доказать обобщение формулы (10.2.26) на произвольное число независимых слагаемых:
. (10.2.27)
Аналогичные соотношения в случае необходимости легко вывести и для моментов более высоких порядков.
|
|
|
