Следствия закона больших чисел: теоремы Бернулли и Пуассона

Известная теорема Я. Бернулли, устанавливающая связь между частотой события и его вероятностью, может быть доказана как прямое следствие закона больших чисел.

Пусть производится независимых опытов, в каждом из которых может появиться или не появиться некоторое событие , вероятность которого в каждом опыте равна . Теорема Я. Бернулли утверждает, что при неограниченном увеличении числа опытов частота события сходится по вероятности к его вероятности .

Обозначим частоту события в опытах через и запишем теорему Я. Бернулли в виде формулы

, (13.5.1)

где, - сколь угодно малые положительные числа.

Требуется доказать справедливость этой формулы при достаточно большом .

Доказательство. Рассмотрим независимые случайные величины:

- число появлений события в первом опыте;

- число появлений события во втором опыте, и т. д.

Все эти величины прерывны и имеют один и тот же закон распределения, выражаемый рядом вида:

где . Математическое ожидание каждой из величин равно , а ее дисперсия (см. 10.3).

Частота представляет собой не что иное, как среднее арифметическое величин :

,

и, согласно закону больших чисел, сходится по вероятности к общему математическому ожиданию этихслучайных величин. Отсюда и следует справедливость неравенства (13.5.1).

Теорема Я. Бернулли утверждает устойчивость частоты при постоянных условиях опыта. Но при изменяющихся условиях опыта аналогичная устойчивость также существует. Теорема, устанавливающая свойство устойчивости частот при переменных условиях опыта, называется теоремой Пуассона и формулируется следующим образом:

Если производится независимых опытов и вероятность появления события в -м опыте равна , то при увеличении частота события сходится по вероятности к среднему арифметическому вероятностей .

Теорема Пуассона выводится из обобщенной теоремы Чебышева точно так же, как теорема Бернулли была выведена из закона больших чисел.

Теорема Пуассона имеет большое принципиальное значение для практического применения теории вероятностей. Дело в том, что зачастую вероятностные методы применяются для исследования явлений, которые в одних и тех же условиях не имеют шансов повториться достаточно много раз, но повторяются многократно при весьма разнообразных условиях, причем вероятности интересующих нас событий сильно зависят от этих условий. Например, вероятность поражения цели в воздушном бою существенно зависит от дальности стрельбы, ракурса цели, высоты полета, скорости стреляющего самолета и цели и т. д. Комплекс этих условий слишком многочислен для того, чтобы можно было рассчитывать на многократное осуществление воздушного боя именно в данных фиксированных условиях. И все же, несмотря на это, в данном явлении налицо определенная устойчивость частот, а именно частота поражения цели в реальных воздушных боях, осуществляемых в самых разных условиях, будет приближаться к средней вероятности поражения цели, характерной для данной группы условий. Поэтому те методы организации стрельбы, которые основаны на максимальной вероятности поражения цели, будут оправданы и в данном случае, несмотря на то, что нельзя ожидать подлинной массовости опытов в каждом определенном комплексе условий.

Аналогичным образом обстоит дело в области опытной проверки вероятностных расчетов. На практике очень часто встречается случай, когда требуется проверить на опыте соответствие вычисленной вероятности какого-либо события его фактической частоте. Чаще всего это делается для того, чтобы проверить правильность той или иной теоретической схемы, положенной в основу метода вычисления вероятности события. Зачастую при такой экспериментальной проверке не удается воспроизвести достаточно много раз одни и те же условия опыта. И все же эта проверка может быть осуществлена, если сравнить наблюденную в опыте частоту события не с его вероятностью для фиксированных условий, а со средним арифметическим вероятностей, вычисленных для различных условий.