 |
Уточнение результатов, полученных методом линеаризации
|
|
|
|
В некоторых задачах практики возникает сомнение в применимости метода линеаризации в связи с тем, что диапазон изменений случайных аргументов не настолько мал, чтобы в его пределах функция могла быть с достаточной точностью линеаризована.
В этих случаях для проверка применимости метода линеаризации и для уточнения полученных результатов может быть применен метод, основанный на сохранении в разложении функции не только линейных членов, но и некоторых последующих членов более высоких порядков и оценке погрешностей, связанных с этими членами.
Для того чтобы пояснить этот метод, рассмотрим сначала наиболее простой случай функции одного случайного аргумента. Случайная величина 
есть функция случайного аргумента 
:
, (11.4.1)
причем функция 
сравнительно мало отличается от линейной на ветке практически возможных значений аргумента , но все же отличается настолько, что возникает сомнение в применимости метода линеаризации. Для проверки этого обстоятельства применим более точный метод, а именно: разложим функцию в ряд Тейлора в окрестности точки 
и сохраним в разложении первые три члена:
. (11.4.2)
Та же формула будет, очевидно, приближенно связывать случайные величины и :
. (11.4.3)
Пользуясь выражением (11.4.3), найдем математическое ожидание и дисперсию величины . Применяя теоремы о числовых характеристиках, имеем:
. (11.4.4)
По формуле (11.4.4) можно найти уточненное значение математического ожидания и сравнить его с тем значением 
, которое получается методом линеаризации; поправкой, учитывающей нелинейность функции, является второй член формулы (11.4.4).
Определяя дисперсию правой и левой части формулы (11.4.3), имеем:
, (11.4.5)
|
|
|
где 
- корреляционный момент величин 
.
Выразим входящие в формулу (11.4.5) величины через центральные моменты величины :
,
.
Окончательно имеем:
. (11.4.6)
Формула (11.4.6) дает уточненное значение дисперсии по сравнению с методом линеаризации; ее второй и третий члены представляют собой поправку на нелинейность функции. В формулу, кроме дисперсии аргумента 
, входят еще третий и четвертый центральные моменты 
, 
. Если эти моменты известны, то поправка к дисперсии может быть найдена непосредственно по формуле (11.4.6). Однако зачастую нет необходимости в ее точном определении; достаточно лишь знать ее порядок. На практике часто встречаются случайные величины, распределенные приблизительно по нормальному закону. Для случайной величины, подчиненной нормальному закону,
, 
, (11.4.7)
и формула (11.4.6) принимает вид:
. (11.4.8)
Формулой (11.4.8) можно пользоваться для приближенной оценки погрешности метода линеаризации в случае, когда аргумент распределен по закону, близкому к нормальному.
Совершенно аналогичный метод может быть применен по отношению к функции нескольких случайных аргументов:
. (11.4.9)
Разлагая функцию
в ряд Тейлора в окрестности точки 
и сохраняя в разложении члены не выше второго порядка, имеем приближенно:
,
или, вводя центрированные величины,
, (11.4.10)
где индекс 
по-прежнему обозначает, что в выражение частной производной вместо аргументов 
подставлены их математические ожидания 
.
Применяя к формуле (11.4.10) операцию математического ожидания, имеем:
, (11.4.11)
где 
- корреляционный момент величин 
.
В наиболее важном для практики случае, когда аргументы 
некоррелированны, формула (11.4.11) принимает вид:
. (11.4.12)
Второй член формулы (11.4.12) представляет собой поправку на нелинейность функции.
Перейдем к определению дисперсии величины 
. Чтобы получить выражение дисперсии в наиболее простом виде, предположим, что величины не только некоррелированны, но и независимы. Определяя дисперсию правой и левой части (11.4.10) и пользуясь теоремой о дисперсии произведения (см. 
10.2), получим:
|
|
|
. (11.4.13)
Для величин, распределенных по закону, близкому к нормальному, можно воспользоваться формулой (11.4.7) и преобразовать выражение (11.4.13) к виду:
. (11.4.14)
Последние два члена в выражении (11.4.14) представляют собой «поправку на нелинейность функции» и могут служить для оценки точности метода линеаризации при вычислении дисперсии.
|
|
|
