Массовые случайные явления и центральная предельная теорема

В предыдущих мы рассмотрели различные формы закона больших чисел. Все эти формы, как бы они ни были различны, утверждают одно: факт сходимости по вероятности тех или иных случайных величин к определенным постоянным. Ни в одной из форм закона больших чисел мы не имеем дела с законами распределения случайных величин. Предельные законы распределения составляют предмет другой группы теорем - центральной предельной теоремы, которую иногда называют «количественной формой закона больших чисел».

Все формы центральной предельной теоремы посвящены установлению условий, при которых возникает нормальный закон распределения, Так как эти условия на практике весьма часто выполняются, формальный закон является самым распространенным из законов распределения, наиболее часто встречающимся в случайных явлениях природы. Он возникает во всех случаях, когда исследуемая случайная величина может быть представлена в виде суммы достаточно большого числа независимых (или слабо зависимых) элементарных слагаемых, каждое из которых в отдельности сравнительно мало влияет на сумму.

В теории стрельбы нормальный закон распределения играет особо важную роль, так как в большинстве случаев практики координаты точек попадания и точек разрыва снарядов распределяются по нормальному закону. Объяснить это можно на следующем примере.

Пусть производится стрельба по некоторой плоской мишени, с центром которой (точкой прицеливания) связано начало координат. Точка попадания характеризуется двумя случайными величинами: и . Рассмотрим одну из них, например отклонение точки попадания от цели в направлении оси . Это отклонение вызвано совокупным действием очень большого количества сравнительно малых факторов, как-то: ошибка наводки, ошибка в определении дальности до цели, вибрации орудия и установки при стрельбе, ошибки изготовления снаряда, атмосферные условия и т. д. Каждая из этих причин создает элементарную ошибку - отклонение снаряда от цели, и координата снаряда может быть представлена как сумма таких элементарных отклонений:

, (13.6.1)

где - отклонения, вызванные отдельными факторами. Так как этих факторов очень много, между собой они являются в основном независимыми и по влиянию на сумму отдельные слагаемые можно считать приблизительно равномерно малыми, то налицо условия применимости центральной предельной теоремы, и величина (13.6.1) должна подчиняться закону распределения, близкому к нормальному.

Остановимся несколько подробнее на нашем утверждении о приблизительно равномерно малом влиянии каждого из слагаемых на сумму. Смысл его в том, что среди элементарных ошибок стрельбы нет ни одной резко превалирующей над суммой всех остальных. Действительно, если бы такая ошибка была, нужно думать, что, составляя правила стрельбы или конструируя прицельный прибор, мы постарались бы ликвидировать эту ошибку и учесть заранее самую значительную причину, отклоняющую снаряд от цели. Неучтенные случайные факторы, создающие рассеивание, обычно характерны своей равномерной малостью и отсутствием среди них резко преобладающих. Именно поэтому закон распределения точек попадания снарядов (или закон распределения точек разрыва снарядов при дистанционной стрельбе) обычно принимается нормальным.

Нормальный закон распределения является доминирующим не только в теории стрельбы, но и во многих других областях, например в теории ошибок измерения. Именно исходя из теории ошибок измерения нормальный закон и был впервые обоснован Лапласом и Гауссом. Действительно, в большинстве случаев ошибки, возникающие при измерении тex или иных физических величин, распределяются именно по нормальному закону; причина этого в том, что такие ошибки, как правило, складываются из многочисленных независимых элементарных ошибок, порождаемых различными причинами. Долгое время нормальный закон считался единственным и универсальным законом ошибок. В настоящее время взгляд на нормальный закон как на единственный и универсальный должен быть пересмотрен (опыт показывает, что в ряде процессов измерения и производства наблюдаются законы распределения, отличные от нормального), но все же нормальный закон остается самым распространенным и самым важным для практики законом ошибок.