 |
Линейные и нелинейные операторы. Оператор динамической системы
|
|
|
|
При изложении теории преобразования случайных функций мы будем пользоваться широко применяемым в математике и технике понятием оператора.
Понятие оператора является обобщением понятия функции. Когда мы устанавливаем функциональную связь между двумя переменными 
и 
и пишем:
. (15.6.1)
то под символом 
мы понимаем правило, по которому заданному значению приводится в соответствие вполне определенное значение . Знак есть символ некоторого преобразования, которому нужно подвергнуть величину , чтобы получить . Соответственно виду этого преобразования функции могут быть линейными и нелинейными, алгебраическими, трансцендентными и т. д.
Аналогичные понятия и соответствующая символика применяются в математике и в тех случаях, когда преобразованию подвергаются не величины, а функции.
Рассмотрим некоторую функцию 
и установим определенное правило 
, согласно которому функция преобразуется в другую функцию 
. Запишем это преобразование в следующем виде:
. (15.6.2)
Примерами подобных преобразований могут быть, например, дифференцирование:
, (15.6.3)
интегрирование:
, (15.6.4)
и т. д.
Правило , согласно которому функция преобразуется в функцию , мы будем называть оператором; например, мы будем говорить: оператор дифференцирования, оператор интегрирования, оператор решениядифференциального уравнения и т. д.
Определяя оператор, мы рассматривали только преобразование функции в другую функцию того же аргумента 
. Следует заметить, что такое сохранение аргумента при определении оператора вовсе не является обязательным: оператор может преобразовывать функцию в функцию другого аргумента 
, например:
, (15.6.5)
где 
- некоторая функция, зависящая, помимо аргумента , еще и от параметра 
.
|
|
|
Но так как при анализе ошибок динамических систем наиболее естественным аргументом является время , мы здесь ограничимся рассмотрением операторов, преобразующих одну функцию аргумента в другую функцию того же аргумента.
Если динамическая система преобразует поступающую на ее вход функцию в функцию :
,
то оператор называется оператором динамической системы.
В более общем случае на вход системы поступает не одна, а несколько функций; равным образом на выходе системы могут появляться несколько функций; в этом случае оператор системы преобразует одну совокупность функций в другую. Однако в целях простоты изложения мы рассмотрим здесь лишь наиболее элементарный случай преобразования одной функции в другую.
Преобразования или операторы, применяемые к функциям, могут быть различных типов. Наиболее важным для практики является класс так называемых линейных операторов.
Оператор 
называется линейным однородным, если он обладает следующими свойствами:
1) к сумме функций оператор может применяться почленно:
; (15.6.6)
2) постоянную величину 
можно выносить за знак оператора:
. (15.6.7)
Из второго свойства между прочим, следует, что для линейного однородного оператора справедливо свойство
, (15.6.8)
т. е. при нулевом входном воздействии реакция системы равна нулю.
Примеры линейных однородных операторов:
1) оператор дифференцирования:
;
2) оператор интегрирования:
;
3) оператор умножения на определенную функцию 
:
,
4) оператор интегрирования с заданным «весом» :
и т. д.
Кроме линейных однородных операторов, существуют еще линейные неоднородные операторы.
Оператор называется линейным неоднородным, если он состоит из линейного однородного оператора с прибавлением некоторой вполне определенной функции :
, (15.6.9)
где 
- линейный однородный оператор.
Примеры линейных неоднородных операторов:
|
|
|
1) 
,
2) 
,
3) 
.
где , 
, 
- вполне определенные функции, а - преобразуемая оператором функция.
В математике и технике широко применяется условная форма записи операторов, аналогичная алгебраической символике. Такая символика в ряде случаев позволяет избегать сложных преобразований и записывать формулы в простой и удобной форме.
Например, оператор дифференцирования часто обозначают буквой 
:
,
помещаемой в виде множителя перед выражением, подлежащим дифференцированию. При этом запись
равносильна записи
.
Двойное дифференцирование обозначается множителем 
:
и т. д.
Пользуясь подобной символикой, в частности, очень удобно записывать дифференциальные уравнения.
Пусть, например, работа динамической системы описывается линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами, связывающими реакцию системы с воздействием . В обычной форме записи это дифференциальное уравнение имеет вид:
. (15.6.10)
В символической форме это уравнение может быть записано в виде:
.
где - оператор дифференцирования.
Обозначая для краткости полиномы относительно , входящие в правую и левую части,
,
,
запишем уравнение в еще более компактной форме:
. (15.6.11)
Наконец, формально разрешая уравнение (15.6.11) относительно , можно символически записать оператор решения линейного дифференциального уравнения в «явном» виде:
. (15.6.12)
Пользуясь аналогичной символикой, можно записать в операторной форме и линейноедифференциальное уравнение с переменными коэффициентами. В обычной форме это уравнение имеет вид:
. (15.6.13)
Обозначая многочлены относительно , коэффициенты которых зависят от
,
,
можно записать оператор дифференциального уравнения в виде:
. (15.6.14)
В дальнейшем мы по мере надобности будем пользоваться такой символической формой записи операторов.
Встречающиеся в технике динамические системы часто описываются линейными дифференциальными уравнениями. В этом случае, как нетрудно убедиться, оператор системы является линейным.
Динамическая система, оператор которой является линейным, называется линейной динамической системой.
В противоположность линейным операторам и системам рассматриваются системы и операторы нелинейные. Примерами нелинейных операторов могут служить
|
|
|
, 
, 
,
а также решение нелинейного дифференциального уравнения, хотя бы
.
Динамическая система, оператор которой не является линейным, называется нелинейной системой.
На практике линейные системы встречаются очень часто. В связи с линейностью этих систем к анализу их ошибок может быть с большой эффективностью применен аппарат теории случайных функций. Подобно тому, как числовые характеристики линейных функций обычных случайных величин могут быть получены по числовым характеристикам аргументов, характеристики случайной функции на выходе линейной динамической системымогут быть определены, если известны оператор системы и характеристики случайной функции на ее входе.
Еще чаще, чем линейные системы, на практике встречаются системы не строго линейные, но в известных пределах допускающие линеаризацию. Если случайные возмущения на входе системы достаточно малы, то практически любая система может рассматриваться - в пределах этих малых возмущений - как приближенно линейная, подобно тому, как при достаточно малых случайных изменениях аргументов практически любая функция может быть линеаризована.
Прием приближенной линеаризации дифференциальных уравнений широко применяется в теории ошибок динамических систем.
В дальнейшем мы будем рассматривать только линейные (или линеаризуемые) динамические системы и соответствующие им линейные операторы.
|
|
|
