Сложение случайных функций
Во многих задачах практики мы встречаемся с тем, что на вход динамической системы поступает не одна случайная функция Эта задача решается элементарно просто, если две складываемые случайные функции независимы (точнее, некоррелированны) между собой. В общем же случае для ее решения необходимо знание еще одной характеристики - так называемой взаимной корреляционной функции (иначе - корреляционной функции связи). Взаимной корреляционной функцией двух случайных функций
Взаимная корреляционная функция, так же как и обычная корреляционная функция, не изменяется при прибавлении к случайным функциям любых неслучайных слагаемых, а следовательно, и при центрированиислучайных функций. Из определения взаимной корреляционной функции вытекает следующее ее свойство:
Вместо функции
Если взаимная корреляционная функция равна нулю при всех значениях На практике обычно суждение о некоррелированности случайных функций составляют не на основании равенства нулю взаимной корреляционной функции, а, наоборот, взаимную корреляционную функцию полагают равной нулю на основании физических соображений, свидетельствующих о независимости случайных функций.
Пусть, например, два самолета обстреливают наземную цель; обозначим Вообще, если из физических соображений, связанных с существом решаемой задачи, вытекает наличие зависимости между фигурирующими в задаче случайными функциями, то их взаимные корреляционные функциидолжны быть обследованы. Зная математические ожидания и корреляционные функции двух случайных функций
По теореме сложения математических ожиданий:
т. е. при сложении двух случайных функций их математические ожидания складываются. Для определения корреляционной функции
По определению корреляционной функции
или
Формула (15.8.7) аналогична формуле (10.2.7) для дисперсии суммы случайных величин. В случае, когда случайные функции
т. е. при сложении некоррелированных случайных функций их корреляционные функции складываются. Выведенные формулы могут быть обобщены на случай произвольного числа слагаемых. Если случайная функция
то ее математическое ожидание выражается формулой
а ее корреляционная функция - формулой
где суммирование распространяется на все возможные размещения индексов
В случае, когда все случайные функции
т. е. корреляционная функция суммы взаимно некоррелированных случайных функций равна суммекорреляционных функций слагаемых. Формула (15.8.12) аналогична теореме сложения дисперсий для обычных случайных величин. Частным случаем сложения случайных функций является сложение случайной функции со случайной величиной. Рассмотрим случайную функцию
Сложим случайную функцию
Определим ее характеристики. Очевидно,
Чтобы найти
Применяя формулу (15.8.8), получим:
т. е. при прибавлении к случайной функции некоррелированной с нею случайной величины ккорреляционной функции прибавляется постоянное слагаемое, равное дисперсии этой случайной величины.
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|