Производная от случайной функции
Дана случайная функция
Требуется найти Представим производную в виде предела:
Применяя к равенству (15.7.15) операцию математического ожидания, получим:
Итак,
т. е. математическое ожидание производной от случайной функции равно производной от ее математического ожидания. Следовательно, операцию дифференцирования, как и операцию интегрирования. тоже можно менять местами с операцией математического ожидания. Для определения
По определению
Подставим вместо
Представим выражение под знаком математического ожидания в виде второй смешанной частной производной:
Мы доказали, что математическое ожидание производной случайной функции равно производной от математического ожидания, т. е. знаки дифференцирования и математического ожидания можно менять местами. Следовательно,
Таким образом,
Итак, чтобы найти корреляционную функцию производной, нужно дважды продифференцировать корреляционную функцию исходной случайной функции: сначала по одному аргументу, затем - по другому. Сравнивая правила нахождения математического ожидания и корреляционной функции для двух рассмотренных нами линейных однородных операторов, мы видим, что они совершенно аналогичны, а именно: для нахождения математического ожидания преобразованной случайной функции тот же линейный оператор применяется кматематическому ожиданию исходной случайной функции; для нахождения корреляционной функции тот же линейный оператор применяется дважды к корреляционной функции исходной случайной функции. В первом частном случае это было двойное интегрирование, во втором - двойное дифференцирование.
Можно доказать, что такое правило является общим для всех линейных однородных операторов. Мы здесь сформулируем это общее правило без доказательства. Если случайная функция
то для нахождения математического ожидания случайной функции
а для нахождения корреляционной функции нужно дважды применить тот же оператор к корреляционной функциислучайной функции
В формуле (15.7.22) значки Во многих задачах практики нас, в конечном счете, интересует не корреляционная функция
При этом нужно подчеркнуть, что, как правило, для определения дисперсии на выходе линейной системы недостаточно знать дисперсию на ее входе, а существенно важно знать корреляционную функцию. Действительно,линейная система может совершенно по-разному реагировать на случайные возмущения, поступающие на ее вход, в зависимости от того, какова внутренняя структура этих случайных возмущений; состоят ли они, например, по преимуществу из высокочастотных или низкочастотных колебаний. Внутренняя же структура случайного процессаописывается не его дисперсией, а корреляционной функцией. Пример. На вход дифференцирующего механизма поступает случайная функция
где Определить математическое ожидание и дисперсию на выходе системы. Решение. Случайная функция
Применяя общие правила, имеем:
Полагая
или, замечая, что
Итак, дисперсия на выходе дифференцирующего механизма зависит не только от дисперсии
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|