 |
Каноническое разложение случайной функции
|
|
|
|
Рассмотрим случайную функцию 
, заданную разложением
, (16.2.1)
где коэффициенты 
представляют собой систему случайных величин с математическими ожиданиями, равными нулю и с корреляционной матрицей 
.
Найдем корреляционную функцию и дисперсию случайной функции .
По определению
, (16.2.2)
где
, (16.2.3)
. (16.2.4)
В формуле (16.2.4) индекс суммирования обозначен буквой 
, чтобы подчеркнуть его независимость от индекса суммирования 
в формуле (16.2.3).
Перемножая выражения (16.2.3) и (16.2.4) и применяя к произведению операцию математического ожидания, получим:
, (16.2.5)
где суммирование распространяется на все пары значений 
- как равные, так и неравные. В случае, когда 
,
,
где 
- дисперсия случайной величины 
. В случае, когда 
,
,
где 
- корреляционный момент случайных величин 
.
Подставляя эти значения в формулу (16.2.5), получим выражение для корреляционной функции случайной функции , заданной разложением (16.2.1):
. (16.2.6)
Полагая в выражении (16.2.6) 
получим дисперсию случайной функции :
. (16.2.7)
Очевидно, выражения (16.2.6) и (16.2.7) приобретают особенно простой вид, когда все коэффициенты разложения (16.2.1) некоррелированны, т. е. 
при . В этом случае разложение случайной функцииназывается «каноническим».
Таким образом, каноническим разложением случайной функции называется ее представление в виде:
, (16.2.8)
где 
- математическое ожидание случайной функции; 
- координатные функции, а - некоррелированные случайные величины с математическими ожиданиями, равными нулю.
Если задано каноническое разложение случайной функции, то ее корреляционная функция 
выражается весьма просто. Полагая в формуле (16.2.6) при , получим:
. (16.2.9)
Выражение (16.2.9) называется каноническим разложением корреляционной функции.
|
|
|
Полагая в формуле (16.2.9) получим дисперсию случайной функции
(16.2.10).
Таким образом, зная каноническое разложение случайной функции , можно сразу найти каноническое разложение ее корреляционной функции. Можно доказать, что обратное положение тоже справедливо, а именно: если задано каноническое разложение корреляционной функции (16.2.9), то для случайной функции справедливо каноническое разложение вида (16.2.8) с координатными функциями 
и коэффициентами с дисперсиями . Мы примем это положение без специального доказательства.
Число членов канонического разложения случайной функции может быть не только конечным, но и бесконечным. Примеры канонических разложений с бесконечным числом членов встретятся нам в главе 17. Кроме того, в ряде случаев применяются так называемые интегральные канонические представления случайных функций, в которых сумма заменяется интегралом.
Канонические разложения применяются не только для действительных, но и для комплексных случайных функций. Рассмотрим обобщение понятия канонического разложения на случай комплексной случайной функции.
Элементарной комплексной случайной функцией называется функция вида:
, (16.2.11)
где как случайная величина 
, так и функция 
комплексны.
Определим корреляционную функцию элементарной случайной функции (16.2.11). Пользуясь общим определениемкорреляционной функции комплексной случайной функции, имеем:
, (16.2.12)
где чертой вверху, как и ранее, обозначена комплексная сопряженная величина. Имея в виду, что
,
и вынося неслучайные величины и 
за знак математического ожидания, получим:
.
Но, согласно 
15.9, 
есть не что иное, как дисперсия комплексной случайной величины :
,
следовательно,
. (16.2.13)
Каноническим разложением комплексной случайной функции называется ее представление в виде:
, (16.2.14)
где - некоррелированные комплексные случайные величины с математическими ожиданиями, равными нулю, а , - комплексные неслучайные функции.
|
|
|
Если комплексная случайная функция представлена каноническим разложением (16.2.14), то ее корреляционная функция выражается формулой
, (16.2.15)
где - дисперсия величины :
. (16.2.16)
Формула (16.2.15) непосредственно следует из выражения (16.2.13) для корреляционной функции элементарнойкомплексной случайной функции.
Выражение (16.2.15) называется каноническим разложением корреляционной функции комплекснойслучайной функции.
Полагая в (16.2.15) , получим выражение для дисперсии комплексной случайной функции, заданной разложением (16.2.14):
. (16.2.17)
|
|
|
