Поток с ограниченным последействием (поток Пальма)
В предыдущем Рассмотрим ординарный поток однородных событий (рис. 19.5.1). Рис. 19.5.1. Этот поток называется потоком с ограниченным последействием (или потоком Пальма), если промежутки времени между последовательными событиями Очевидно, простейший поток является частным случаем потока Пальма: в нем расстояния Рассмотрим примеры потоков Пальма. 1. Некоторая деталь технического устройства (например, радиолампа) работает непрерывно до своего отказа (выхода из строя), после чего она мгновенно заменяется новой. Срок безотказной работы детали случаен; отдельные экземпляры выходят из строя независимо друг от друга. При этих условиях поток отказов (или поток «восстановлений») представляет собой поток Пальма. Если, к тому же, срок работы детали распределен по показательному закону, то поток Пальма превращается в простейший. 2. Группа самолетов идет в боевом порядке «колонна» (рис. 19.5.2) с одинаковой для всех самолетов скоростью
Рис. 19.5.2. Потоки Пальма часто получаются в виде выходных потоков систем массового обслуживания. Если на какую-либо систему поступает какой-то поток заявок, то он этой системой разделяется на два: поток обслуженных и поток необслуженных заявок. Поток необслуженных заявок часто поступает на какую-либо другую систему массового обслуживания, поэтому представляет интерес изучить его свойства. Основной в теории выходных потоков является теорема Пальма, которую мы сформулируем без доказательства. Пусть на систему массового обслуживания поступает поток заявок типа Пальма, причем заявка, заставшая все каналы занятыми, получает отказ (не обслуживается). Если при этом время обслуживания имеет показательный закон распределения, то поток необслуженных заявок является также потоком типа Пальма. В частности, если входной поток заявок будет простейшим, то поток необслуженных заявок, не будучи простейшим, будет все же иметь ограниченное последействие. Интересным примером потоков с ограниченным последействием являются так называемые потоки Эрланга. Они образуются «просеиванием» простейшего потока. Рассмотрим простейший поток (рис. 19.5.3) и выбросим из него каждую вторую точку (на рисунке выброшенные точки отмечены крестами). Рис. 19.5.3. Оставшиеся точки образуют поток; этот поток называется потоком Эрланга первого порядка
Поток Эрланга второго порядка получится, если сохранить в простейшем потоке каждую третью точку, а две промежуточные выбросить (рис. 19.5.4). Рис. 19.5.4. Вообще, потоком Эрланга k-го порядка Найдем закон распределения промежутка времени Рис. 19.5.5. Величина
где
Можно было бы найти закон распределения величины Обозначим
Перемножая эти вероятности, получим
откуда
Закон распределения с плотностью (19.5.3) называется законом Эрланга
Найдем характеристики закона Эрланга
где Отсюда
Аналогично по теореме сложения дисперсий
Плотность
Таким образом, при увеличении порядка потока Эрланга увеличиваются как математическое ожидание, так идисперсия промежутка времени между событиями, а плотность потока падает. Выясним, как будет изменяться поток Эрланга при
Назовем такой поток нормированным потоком Эрланга
где
Математическое ожидание величины
где
и неограниченно убывает с возрастанием Таким образом, мы приходим к выводу: при неограниченном увеличении Это свойство потоков Эрланга удобно в практических применениях: оно дает возможность, задаваясь различными Пример. В результате статистической обработки промежутков между заявками в потоке получены оценки дляматематического ожидания и дисперсии величины
Заменить этот поток нормированным потоком Эрланга с теми же характеристиками. Решение. Имеем
Из формулы (19.5.11) получим
Поток можно приближенно заменить нормированным потоком Эрланга четвертого порядка.
Время обслуживания Кроме характеристик входного потока заявок, режим работы системы зависит еще от характеристик производительности самой системы: числа каналов
Рассмотрим случайную величину
a
Для практики особый интерес представляет случай, когда величина
где параметр
Особая роль, которую играет в теории массового обслуживания показательный закон распределения величины На первый взгляд допущение о том, что время обслуживания распределено по показательному закону, представляется довольно искусственным. В ряде практических задач кажется естественнее предположить его либо совсем не случайным, либо распределенным по нормальному закону. Однако существуют условия, в которых время обслуживания действительно распределяется по закону, близкому к показательному. Это, прежде всего, все задачи, в которых обслуживание сводится к ряду «попыток», каждая из которых приводит к необходимому результату с какой-то вероятностью Пусть, например, «обслуживание» состоит в обстреле какой-то цели и заканчивается в момент ее поражения. Обстрел ведется независимыми выстрелами с некоторой средней скорострельностью Рис. 19.6.1. Выделим мысленно из этого потока другой - поток «успешных», или «поражающих», выстрелов (они отмечены кружками на рис. 19.6.1). Выстрел будем называть «успешным», если он приводит к поражению цели (если только цель не была поражена ранее). Нетрудно убедиться, что успешные выстрелы тоже образуют простейший поток
откуда плотность распределения времени «обслуживания»
а это есть показательный закон с параметром
Показательным законом распределения времени обстрела до поражения цели можно приближенно пользоваться и в случае, когда выстрелы не образуют простейшего потока, а отделены, например, строго определенными промежутками времени Рис. 19.6.2. Как видно на рис. 19.6.2, непрерывное показательное распределение хорошо соответствует характеру нарастания функции распределения для дискретного случая. Естественно, если моменты выстрелов не будут строго определенными, соответствие с показательным законом будет еще лучше. Случай стрельбы - не единственный, когда обслуживание осуществляется рядом «попыток». К такому типу часто можно отнести обслуживание по устранению неисправностей технических устройств, когда поиски неисправной детали или узла осуществляются рядом тестов или проверок. К такому же типу можно отнести задачи, где «обслуживание» заключается в обнаружении какого-либо объекта радиолокатором, если объект с какой-то вероятностью может быть обнаружен при каждом цикле обзора. Показательным законом хорошо описываются и те случаи, когда плотность распределения времени обслуживания по тем или иным причинам убывает при возрастании аргумента Рис. 19.6.3. Так как плотность распределения убывает с возрастанием Разумеется, показательный закон не является универсальным законом распределения времени обслуживания. Часто время обслуживания лучше описывается, например, законом Эрланга. Однако, к счастью, пропускная способность и другие характеристики системы массового обслуживания сравнительно мало зависят от вида закона распределения времени обслуживания, а зависят, главным образом, от его среднего значения
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|