Система массового обслуживания с отказами. Уравнения Эрланга
Системы массового обслуживания делятся на два основных типа: а) системы с отказами, б) системы с ожиданием.
В системах с отказами заявка, поступившая в момент, когда все каналы обслуживания заняты, немедленно получает отказ, покидает систему и в дальнейшем процессе обслуживания не участвует.
В системах с ожиданием заявка, заставшая все каналы занятыми, не покидает систему, а становится в очередь и ожидает, пока не освободится какой-нибудь канал. В настоящем
мы рассмотрим систему с отказами как наиболее простую.
Пусть имеется
-канальная система массового обслуживания с отказами. Рассмотрим ее как физическую систему
с конечным множеством состояний:
- свободны все каналы,
- занят ровно один канал,
……………
- занято ровно
каналов,
……………
- заняты все
каналов.
Схема возможных переходов дана на рис. 19.8.1.

Рис. 19.8.1.
Поставим задачу: определить вероятности состояний системы
для любого момента времени
. Задачу будем решать при следующих допущениях:
1) поток заявок - простейший, с плотностью
2) время обслуживания
- показательное, с параметром 
.
. (19.8.1)
Заметим, что параметр
в формуле (19.8.1) полностью аналогичен параметру
показательного закона распределения промежутка
между соседними событиями простейшего потока:
. (19.8.2)
Параметр
имеет смысл «плотности потока заявок». Аналогично, величину
можно истолковать как «плотность потока освобождений» занятого канала. Действительно, представим себе канал, непрерывно занятый (бесперебойно снабжаемый заявками); тогда, очевидно, в этом канале будет идти простейший поток освобождений с плотностью
.
Так как оба потока - заявок и освобождений - простейшие, процесс, протекающий в системе, будет марковским.
Рассмотрим возможные состояния системы и их вероятности
. (19.8.3)
Очевидно, для любого момента времени
. (19.8.4)
Составим дифференциальные уравнения для всех вероятностей (19.8.3), начиная с
. Зафиксируем момент времени
и найдем вероятность
того, что в момент
система будет находиться в состоянии
(все каналы свободны). Это может произойти двумя способами (рис. 19.8.2):

Рис. 19.8.2.
- в момент
система находилась в состоянии
, а за время
не перешла из нее в
(не пришло ни одной заявки),
- в момент
система находилась в состоянии
, а за время
канал освободился, и система перешла в состояние
.
Возможностью «перескока» системы через состояние (например, из
в
через
) за малый промежуток времени можно пренебречь, как величиной высшего порядка малости по сравнению с
и
.
По теореме сложения вероятностей имеем
. (19.8.5)
Найдем вероятность события
по теореме умножения. Вероятность того, что в момент
система была в состоянии
, равна
. Вероятность того, что за время
не придет ни одной заявки, равна
. С точностью до величин высшего порядка малости
. (19.8.6)
Следовательно,
.
Найдем
. Вероятность того, что в момент
система была в состоянии
, равна
. Вероятность того, что за время
канал освободится, равна
с точностью до малых величин высшего порядка
.
Следовательно,
.
Отсюда
.
Перенося
в левую часть, деля на
и переходя к пределу при
, получим дифференциальное уравнениедля
:
. (19.8.7)
Аналогичные дифференциальные уравнения могут быть составлены и для других вероятностей состояний.
Возьмем любое
и найдем вероятность
того, что в момент
система будет в состоянии
(рис. 19.8.3).

Рис. 19.8.3.
Эта вероятность вычисляется как вероятность суммы уже не двух, а трех событий (по числу стрелок, направленных в состояние
):
- в момент
система была в состоянии
(занято
каналов), а за время
не перешла из него ни в
, ни в
(ни одна заявка не поступила, ни один канал не освободился);
- в момент
система была в состоянии
(занято
каналов), а за время
перешла в
(пришла одна заявка);
- в момент
система была в состоянии
(занято
каналов), а за время
один из каналов освободился.
Найдем
. Вычислим сначала вероятность того, что за время
не придет ни одна заявка и не освободится ни один из каналов:
.
Пренебрегая малыми величинами высших порядков, имеем
,
откуда
.
Аналогично
,

и
.
Отсюда получаем дифференциальное уравнение для
:
.
Составим уравнение для последней вероятности
(рис. 19.8.4).

Рис. 19.8.4.
Имеем
,
где
- вероятность того, что за время
не освободится ни один канал;
- вероятность того, что за время
придет одна заявка. Получаем дифференциальное уравнение для
:
.
Таким образом, получена система дифференциальных уравнений для вероятностей
:
(19.8.8)
Уравнения (19.8.8) называются уравнениями Эрланга. Интегрирование системы уравнений (19.8.8) при начальных условиях
; 
(в начальный момент все каналы свободны) дает зависимость
для любого
. Вероятности
характеризуют среднюю загрузку системы и ее изменение с течением времени. В частности,
естьвероятность того, что заявка, пришедшая в момент
, застанет все каналы занятыми (получит отказ):
.
Величина
называется относительной пропускной способностью системы. Для данного момента
это есть отношение среднего числа обслуженных за единицу времени заявок к среднему числу поданных.
Система линейных дифференциальных уравнений (19.8.8) сравнительно легко может быть проинтегрирована при любом конкретном числе каналов
.
Заметим, что при выводе уравнений (19.8.8) мы нигде не пользовались допущением о том, что величины
и
(плотности потока заявок и «потока освобождений») постоянны. Поэтому уравнения (19.8.8) остаются справедливыми и для зависящих от времени
,
, лишь бы потоки событий, переводящих систему из состоянии в состояние, оставались пуассоновскимн (без этого процесс не будет марковским).
Воспользуйтесь поиском по сайту: