Установившийся режим обслуживания. Формулы Эрланга
Рассмотрим Во многих задачах практики нас интересуют именно характеристики предельного установившегося режима обслуживания. Можно доказать, что для любой системы с отказами такой предельный режим существует, т. е. что при Чтобы найти предельные вероятности
К этим уравнениям необходимо добавить условие
Разрешим систему (19.9.1) относительно неизвестных
Из второго, с учетом (19.9.3),
аналогично из третьего, с учетом (19.9.3) и (19.9.4),
и вообще, для любого
Введем обозначение
и назовем величину
где
Формула (19.9.7) выражает все вероятности
откуда
Подставляя (19.9.8) в (19.9.7), получим окончательно
Формулы (19.9.9) называются формулами Эрланга. Они дают предельный закон распределения числа занятых каналов в зависимости от характеристик потока заявок и производительности системы обслуживания. Полагая в формуле (19.9.9)
В частности, для одноканальной системы (
а относительная пропускная способность
Формулы Эрланга (19.9.9) и их следствия (19.9.10)-(19.9.12) выведены нами для случая показательного распределения времени обслуживания. Однако исследования последних лет показали, что эти формулы остаются справедливыми и при любом законе распределения времени обслуживания, лишь бы входной поток был простейшим. Пример 1. Автоматическая телефонная станция имеет 4 линии связи. На станцию поступает простейший потокзаявок с плотностью Решение. Имеем
а) По формуле (19.9.10) получаем
б) По формуле (19.9.8)
Несмотря на то, что формулы Эрланга в точности справедливы только при простейшем потоке заявок, ими можно с известным приближением пользоваться и в случае, когда поток заявок отличается от простейшего (например, является стационарным потоком с ограниченным последействием). Расчеты показывают, что замена произвольного стационарного потока с не очень большим последействием простейшим потоком той же плотности
Наконец, можно заметить, что формулами Эрланга можно приближенно пользоваться и в случае, когда система массового обслуживания допускает ожидание заявки в очереди, но когда срок ожидания мал по сравнению со средним временем обслуживания одной заявки. Пример 2. Станция наведения истребителей имеет 3 канала. Каждый канал может одновременно наводить один истребитель на одну цель. Среднее время наведения истребителя на цель Решение. Имеем По формуле (19.9.10)
Вероятность отказа Заметим, что в данном примере плотность потока целей выбрана такой, что при их регулярном следовании одна за другой через определенные интервалы и при точно фиксированном времени наведения
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|