 |
Решить игру с матрицей (тип 2хn). В ответе указать цену игры и вероятности применения стратегий, т.е. v, p, q.
|
|
|
|
| -2 | -1 | |||||||||||
| -6 | -1 | -2 | ||||||||||
| -2 | -3 | -1 | -4 | -1 | ||||||||
| -3 | -2 | -9 | -2 | -4 | ||||||||
| -3 | -4 | -2 | -2 | |||||||||
| -4 | -3 | -9 | -3 | -5 | -8 | |||||||
| -5 | -6 | -4 | -8 | -4 | -3 | -4 | -2 | -2 | -2 | |||
| -6 | -5 | -5 | -7 | -4 | -3 | -3 | -5 | |||||
| -5 | -6 | -4 | -4 | -1 | -2 | |||||||
| -6 | -5 | -5 | -7 | -2 | -1 | -3 | -1 | -3 | ||||
| -8 | ||||||||||||
| -8 | ||||||||||||
| -2 | ||||||||||||
| -6 | -9 | |||||||||||
| -3 | ||||||||||||
| -2 | -3 | -1 | -1 | -1 | -2 | |||||||
| -3 | -2 | -7 | -2 | -4 | -2 | -1 | -1 | -3 |
Решить игру с матрицей (тип mх2). В ответе указать цену игры и вероятности применения стратегий, т.е. v, p, q.
|
|
|
| -1 | -6 | -7 | -5 | -6 | ||||||
| -1 | -7 | -6 | -6 | -5 | ||||||
| -2 | -5 | -3 | -4 | -6 | ||||||
| -6 | -1 | -5 | ||||||||
| -2 | -5 | -8 | -4 | -7 | ||||||
| -3 | -4 | -6 | -7 | -2 | -3 | |||||
| -4 | -3 | -7 | -6 | -3 | -2 | |||||
| -2 | -5 | -1 | ||||||||
| -3 | -9 | -6 | -2 | |||||||
| -2 | -5 | -5 | -8 | -1 | -4 | |||||
| -2 | -3 | -5 | -6 | |||||||
| -3 | -2 | -6 | -5 | |||||||
| -1 | -8 | -4 | -8 | -1 | ||||||
| -2 | -1 | -5 | -3 | |||||||
| -1 | -4 | -4 | -7 | -1 | ||||||
| -6 | -7 | |||||||||
| -7 | -6 | |||||||||
| -5 | -2 | -2 | -5 | -4 | ||||||
| -7 | -4 | -6 | ||||||||
| -5 | -8 | |||||||||
| -1 | -2 | |||||||||
| -2 | -1 | |||||||||
| -7 | -3 | |||||||||
| -1 | ||||||||||
| -3 |
Тема 4. Некооперативные игры 2 лиц с ненулевой суммой
Контрольные вопросы
1. Основные свойства игр с ненулевой суммой.
2. Точки равновесия.
3. Семейный спор.
4. Дилемма заключенного.
5. Экономические циклы: профсоюзы и работодатели.
|
|
|
6. Решения некооперативных игр. Психологические факторы.
Литература основная: [1–4]; дополнительная: [5, 6, 9, 10, 16, 17].
Типовые примеры
Пример. Рассмотрим игру с матрицами
.
В этой игре пары стратегий x= (1,0), y= (1,0) и x= (0,1), y= (0,1) являются равновесными, так как игроку 1 (игроку 2) невыгодно уклоняться от стратегии 1, если игрок 2 (игрок 1) придерживается стратегии 1. Аналогично проводятся рассуждения во втором случае. Выигрыши в точках равновесия различны.
Теорема. Для любой биматричной игры всегда существует, по крайней мере, одна пара равновесных смешанных стратегий. В общем случае решение не единственно и значения выигрыша – различны.
Рассмотрим задачу типа Семейный спор. Она относится к типу биматричных игр. В некотором небольшом городе живут муж и жена. Каждые выходные они обсуждают вопрос, куда пойти? Муж предлагает пойти на футбол (бокс и т.п.), жена – в кино (театр, цирк и т.д.). Кроме того, они предпочитают находиться вместе. В соответствии с этими предпосылками составим матрицу полезностей игроков в зависимости от различных решений. Допустим, что каждый игрок оценивает для себя полезность посещения привлекательного для него мероприятия через 3, бесполезного – через 0, а тот факт, что они пошли вместе – через 2. Тогда в соответствии с этими условиями получим матрицу выигрышей
| Муж/Жена | Балет | Футбол |
| Балет | (2,5) | (0,0) |
| Футбол | (3,3) | (5,2) |
Здесь в каждой клетке – первая цифра – выигрыш (полезность) мужа, вторая – жены. Например, если они вместе пошли на балет, по 2 очка они получают за то, что пошли вместе, жена добавляет себе еще 3 очка за балет. Иногда эта таблица разбивается на две таблицы выигрышей отдельного игрока:
| Выигрыши мужа (игрока 1) | Выигрыши жены (игрока 2) | |||||
| Муж/Жена | Балет | Футбол | Муж/Жена | Балет | Футбол | |
| Балет | Балет | |||||
| Футбол | Футбол |
В этой задаче точка (3,3) является точкой равновесия. Ее смысл следующий – если противник придерживается этой же стратегии, то мне невыгодно менять свою. В самом деле, если муж поменяет свое решение с футбола на балет, то игроки попадут в точку (2,5), что мужу невыгодно, он получит 2 вместо 3. Аналогично может рассуждать и игрок 2. Других точек равновесия в этой игре нет, так как из точки (0,0) уходят оба, из точки (2,5) муж уходит в (3,3), из точки (5,2) жена уходит в (3,3).
|
|
|
Задачи для решения
Найти точки равновесия в биматричной игре (A – матрица выигрышей игрока 1, B – матрица выигрышей игрока 2)
| A= | -7 | B= | A= | B= | -4 | -8 | ||||||||
| A= | -1 | B= | A= | B= | ||||||||||
| -4 | -3 | -5 | ||||||||||||
| A= | -8 | -8 | B= | A= | -2 | B= | ||||||||
| -10 | -7 | |||||||||||||
| A= | -5 | B= | -9 | A= | -6 | B= | ||||||||
| -5 | -4 | -10 | -9 | |||||||||||
| A= | -1 | B= | -5 | -3 | A= | -2 | B= | -5 | ||||||
| -1 | -2 | |||||||||||||
| A= | -1 | B= | -9 | -7 | A= | -9 | B= | -7 | ||||||
| A= | -2 | B= | -5 | A= | -6 | B= | -9 | |||||||
| -6 | -10 | -9 | ||||||||||||
| A= | -7 | B= | A= | -10 | -3 | B= | ||||||||
| -9 | -8 | -7 | -8 | -2 | ||||||||||
| A= | B= | A= | -1 | B= | -6 | |||||||||
| -1 | -8 | -4 | -4 | |||||||||||
| A= | B= | -7 | A= | -3 | -6 | B= | -9 | |||||||
| -9 |
|
|
|
Тема 5. Кооперативные игры 2 лиц
Контрольные вопросы
1. Решение фон Неймана-Моргенштерна.
2. Арбитражные схемы.
3. Торг по Нэшу.
4. Цена игры Шепли.
5. Устойчивость арбитражных схем.
6. Бридж.
7. Спортивный бридж, робберный бридж.
8. Основные понятия и правила.
9. Очки, заявки, контракты, призовые игры.
10. Соглашения об обмене информацией (системы торговли, конвенции).
11. Игры в обороне (вист).
12. Гейм, шлем, контра, реконтра.
13. Учет очков.
14. Приоритет мастей.
15. Сдача, торговля и розыгрыш.
16. Дилер и разыгрывающий.
16. Литература основная: [1–4]; дополнительная: [5, 6, 19].
16.
|
|
|
