Применение принципа максимумаи теории дифференциальных игр в современной механике полёта

На главную

ЧАСТЬ V

ПЕРВЫЕ ПОЕЗДКИ ЗА ГРАНИЦУ

Моя мечта о поездке за границу начинается с того времени, когда в 1932 году я получил приглашение от Лефшеца поехать туда с матерью на год. Но впервые поехал только через 26 лет в 1958 году на Эдинбургский конгресс, уже будучи академиком, когда мне почти исполнилось 50 лет. Между 1932 и 1958 годом я получал многочисленные приглашения на поездки за границу, но поехать мне не удавалось. В частности, на предыдущий конгресс 1954 года в Амстердам. Тогда, насколько я знаю, поехали Александров, Колмогоров, Никольский и Панов ¹.

Как это бывает у нас обычно, вся группа едущих на конгресс в Эдинбург математиков была разбита на две части — делегатов и туристов. Делегаты и туристы ехали в Эдинбург все вместе, жили там и возвращались обратно отдельно друг от друга, имея различный юридический статус. Делегаты ехали за счёт государства, получали на руки некоторое количество валюты, которую по своему усмотрению расходовали в Англии на пищу и покупки. Туристы же заранее сами оплачивали туристические путевки, которые обеспечивали им проезд, полный пансион в Эдинбурге и некоторое очень небольшое количество валюты на руки.

Я как пленарный докладчик был включён в число делегатов, но ехал без матери, один. Среди делегатов, насколько помню, были И. М. Виноградов, Н. И. Мусхелишвили, Н. Н. Боголюбов, П. С. Александров, А. Д. Александров и кажется другие. Всё это были очень почтенные люди, почти все старше меня. Младше был только А. Д. Александров. Мне трудно было рассчитывать на их помощь во время путешествия и пребывания в Эдинбурге, а в помощи я нуждался. Поэтому я прибился к наименее почтенному и наиболее молодому из них — А. Д. Александрову.

Мы летели через Париж. На аэродром Орли в Париже мы прибыли поздно вечером. Оттуда нас отвезли в город и поместили в отеле. Для ночёвки я получил отдельный номер и ночью с волнением слушал французский говор с улицы через окно. Утром нас привезли обратно на аэродром и отправили в Лондон на самолёте. В Лондоне мы отправились на некоторое время в наше посольство, где пообедали и получили советы, как ехать в Эдинбург на поезде. Так как в Эдинбург мы должны были приехать поздно вечером, почти ночью, то мы очень просили сотрудников посольства предупредить кого-нибудь из Оргкомитета в Эдинбурге, чтобы нас там встретили. Иначе мы просто не знали, куда нам деваться.

Железнодорожные порядки в Англии сильно отличались от наших. Меня поразил тот факт, что уже купленные билеты надо было ещё перед самой посадкой в поезд регистрировать и получать номера мест, на которых будешь ехать. Эта операция сопровождалась суетой и толчеёй. Весь наш багаж ехал отдельно, что вызывало у нас некоторое беспокойство.

На вокзале в Эдинбурге нас никто не встретил. Мы сбились кучкой и долго стояли около своих вещей, чувствуя себя совершенно беспомощными. Обращались к железнодорожным работникам с просьбой сообщить что-нибудь об Эдинбургском конгрессе, но они ничего не знали. Наконец решили сделать попытку получить места при вокзальном отеле. Нам сразу сказали, что свободных номеров нет, но когда узнали, что мы русские, то сообщили, что для какой-то группы русских забронированы номера. Оказалось, что это для нас. Гостиница была очень хорошая. Мы с А. Д. Александровым получили отдельный номер на двоих. Устройство гостиницы меня также поразило: при очень хорошем номере не было ни уборной, ни ванной. Для того, чтобы пойти в уборную, надо было пройти огромное расстояние, что меня очень затрудняло.

На другой день мы встретились с нашими туристами, которые уже прибыли в Эдинбург. Группу туристов возглавлял Е. Ф. Мищенко. Среди туристов было гораздо больше молодёжи, которая могла мне помочь, и я попросил разрешения отколоться от группы делегатов и находиться с туристами. Мне было разрешено.

Я с радостью переселился из роскошного, но неудобного отеля в более скромное студенческое общежитие, которое оказалось всё же очень хорошим. Получил в нём отдельную комнату, при ней, правда, не было ни уборной, ни ванной. И то, и другое находилось близко, вполне доступно для меня. В комнате имелась очень простенькая кровать, застеленная тонкими шерстяными одеяльцами. Эти одеяльца лежали и под простыней, и сверх простыни, на пододеяльнике. Шерстяная подстилка под простыней предохраняла от сырости, а многослойное покрытие давало возможность регулировать температуру этого накрытия. После я стал использовать и то, и другое у себя дома. Это разумно.

С «туристами» мой быт в Эдинбурге полностью наладился. Я проводил там время либо с Е. Ф. Мищенко, либо с Ю. В. Прохоровым, либо с Л. Н. Большевым или с кем-то ещё, не помню с кем именно.

Мы с Мищенко стали готовить мой доклад. В Эдинбурге я встретил Лефшеца, который помог мне организовать переводчика, а именно: Липмана Берса. Доклад был подготовлен очень хорошо и происходил следующим образом. Я говорил по-русски отдельными фразами, Мищенко писал соответствующие формулы, а Липман Берс сразу же переводил эти фразы на английский язык. Этот процесс был заранее тщательно отрепетирован. Для этого мы с Мищенко посетили Липмана Берса в гостинице, где он жил.

С. А. Лефшец и Л. С. Понтрягин на математическом конгрессе в Эдинбурге. 1958 г.

Тут произошёл забавный случай. Для поездки к Берсу мы решили взять такси. Когда садились в такси, таксист почему-то отказался нас везти. Но, наконец, согласился. Оказалось, что гостиница находится просто на другой стороне той площади, на которой мы нанимали такси. Поэтому он и не хотел нас везти.

Липман Берс хорошо говорил по-русски и сразу мне очень понравился. Я всё пытался дознаться у него, является ли мой результат — принцип максимума — новым или нет. Но он этого не знал.

Среди туристов находилась и О. А. Ладыженская, с которой мы, таким образом, часто встречались в Эдинбурге. В общежитии я познакомился также с новыми для меня совершенно обычаями Англии. Это — система оплаты расходов за электричество. Кроме электрических лампочек, которые можно было включать свободно, в моей комнате имелся и электрический камин с несколькими розетками для включения электроприборов. Но для того, чтобы использовать всю эту аппаратуру, нужно было опускать в камин монету. Я узнал также, что в Англии имеется шесть различных систем электрических вилок для включения электроприборов. Все эти способы включения имелись при камине, но моя электробритва к ним не подходила. Бриться я ходил в кухню где выстраивалась очередь к электрической розетке.

Возвращались из Эдинбурга делегаты и туристы опять раздельно. У туристов было дополнительное путешествие по морю на корабле. Мы, делегаты, в нём не участвовали и возвращались раньше. Помню, что в Москву мы прибывали на советском самолёте ТУ-104. Я сидел рядом с П. С. Александровым Когда мы подлетали к Москве, и самолёт уже готовился к спуску, П. С. Александров сказал: «Ну, вот, слава богу, опасность уже миновала». Тут я ему и объяснил, что опасность как раз и начинается при посадке.

На обратном пути из Эдинбурга, в Лондоне, я провёл один очень приятный день с П. С. Александровым и Б. В. Гнеденко. Это было уже после того, как все туристы уехали, и я оказался опять в группе делегатов. Мы посетили пакистанский ресторан, где ели какую-то «огненную» пищу, потом гуляли по Лондону и по лондонским паркам. Всё это было хорошо знакомо П. С. Александрову. Он даже выкупался в парке. Потом где-то вместе ночевали. По наущенью Мищенко я приобрёл в Лондоне электрическую бритву «Ремингтон», чего не хотел делать, так как у меня уже была советская электрическая бритва. Но Мищенко оказался прав: «Ремингтон» была лучше, чем наша бритва, во много раз.

В Москву я вернулся поздно вечером и на академическом автомобиле доехал до своей квартиры, которая была пустой, моя мать и Лиза находились на даче. Так как автомобиль вёз Виноградова прямо в Абрамцево, где находилась моя дача, я послал к ним записку с просьбой вернуться в Москву. На той же машине, которая отвезла Виноградова, моя мать вернулась на московскую квартиру, где мы и встретились.

От Лефшеца я узнал в Эдинбурге, что в Америке у меня хранится довольно значительная сумма денег за мою книжку «Непрерывные группы», которая там была переведена под заглавием «Топологические группы». Несколько позже Лефшец купил и прислал мне в Москву мой первый хороший магнитофон «Грюндиг». Это — четырёхдорожечный стереофонический магнитофон. Он и сейчас ещё используется мною для некоторых целей в институте. До этого я получил двухдорожечный восточногерманский магнитофон, который мне прислали из Германии в счёт оплаты издававшихся там моих книг. С тех пор магнитофон прочно вошёл в мой быт.

Моя следующая поездка за границу была в 1962 году, осенью, также на Международный конгресс математиков, который на этот раз состоялся в Стокгольме. Главной примечательностью этой поездки было то, что я ехал теперь со своей женой — Александрой Игнатьевной Понтрягиной. Благодаря этому и благодаря тому, что у меня был только маленький десятиминутный доклад, а не пленарный, мы были туристами, хотя к этому времени я был уже академиком, общеизвестным выдающимся математиком, но я не был влиятельным членом Академии. Поэтому включение меня с женой даже в список туристов было связано с значительными трудностями. Мне рассказывали, что глава делегации Лаврентьев с трудом включил нас в этот список. Но в конце концов мы были включены и поездка состоялась.

Мой маленький десятиминутный доклад опять переводил Липман Берс. Формулы писал и готовил доклад со мною Л. Н. Большев. Александра Игнатьевна присутствовала при подготовке доклада и была поражена той бессвязностью речи, которая была у меня на первых порах подготовки. Она ещё не привыкла к тому, что всякое действие с моей стороны должно быть тщательно подготовлено и на первых порах оно выглядит весьма бесформенным. Сам доклад был сделан хорошо, я уложился в свои десять минут. Его содержание не представляло значительного математического достижения. Это был некий паллиатив. Не умея подойти к игровой задаче правильным способом, мы пытались с Евгением Фроловичем Мищенко решить её в терминах теории вероятностей. Это решение было получено и представляло собой некий результат из теории вероятностей, правда, не очень значительный.

Быт туристов в Стокгольме был устроен много хуже, чем делегатов. Делегаты были поселены в хороший загородный отель, где я был однажды. А нас поместили внутри города, в дрянной отель. Наша комната выходила окнами на автомобильную стоянку, где постоянно воняло и грохотало. Кроме того, рядом с отелем была церковь, которая звонила каждые четверть часа, отбивая время, и это не давало нам спать. Наша комната представляла собой крошечный пенал, в котором была одна кровать, её занимал я, и диван-кровать. Устройство последнего было очень странным. На день его запирали, чтобы нельзя было превратить его в кровать. Превращение дивана в кровать происходило при помощи откидывания его спинки, задняя сторона которой представляла собой матрац кровати. Запирание его на день висячем замком нам объяснили тем, что был случай, когда крышка откинулась и прижала к стенке постояльца.

Кормили туристов в Швеции при помощи так называемого «шведского стола». На столе стояла еда, предназначенная для всей нашей группы. Все должны были подходить и произвольным образом брать себе пищу и нести её к своему месту у обеденного стола. Так как Александра Игнатьевна прежде всего должна была определить меня на какое-то место за обеденный стол, то к еде она оказывалась последней в очереди из тридцати советских математиков-туристов. В первый заход она брала пищу для меня, и тогда уже оставалось мало что взять, а во второй заход — для себя, и тут уже вообще ничего не было. Единственным человеком, который проявлял к ней внимание и помогал в этом деле, был Игорь Ростиславович Шафаревич. Остальные просто были заняты собой и едой. В этом смысле первое знакомство с математиками произвело на неё неблагоприятное впечатление. Я хорошо помню, как она чуть не плакала от того, что она постоянно была голодной.

В отеле, где мы жили, к советским постояльцам относились недоброжелательно. Мы завтракали в отеле, и на нашем столе не было советского флажка, хотя для представителей других наций флажки выставлялись. Мы долго добивались, чтобы поставили советский флажок, но это было сделано только после того, как в Советском Союзе произошло выдающееся космическое событие. В Стокгольме нам, конечно, хотелось походить по магазинам и хотя бы посмотреть, что там продаётся, так как денег на покупки у нас на первых порах не было. Но нас так запугали на инструктажах перед поездкой, что мы даже боялись ходить в магазины, думали, что сейчас же подвергнемся провокации и нас обвинят в том, что мы что-то украли. Позже один американский участник конгресса передал мне небольшую сумму в валюте в счёт моего гонорара за книгу «Топологические группы», изданную Принстонским университетом, и мы получили возможность походить по магазинам уже с целью кое-что купить. Но и тут мы всё время боялись.

Эта поездка в Стокгольм доставила нам большую радость. Очень приятной была туристическая часть поездки. Это было путешествие из Стокгольма в Гётеборг по каналам через Швецию. Мы проезжали каналы и большое водохранилище. В водохранилище было сильное волнение, так что многие страдали морской болезнью, в том числе и Александра Игнатьевна. Я же качке совершенно не поддавался. Помню, как она временами выскакивала из крошечной каютки, в которой мы ехали, и подходила к борту пароходика.

Из Гётеборга в Стокгольм мы возвращались поездом. Ехали в трёхместных купе, причём полки были расположены в три этажа одна над другой. Нам с женой дали отдельное купе. Сложная проблема была с нашими математическими дамами — Ольгой Ладыженской и Ольгой Олейник. Хотели поместить их вместе в отдельное купе. Но это испортило бы им настроение. Не помню уже, как тогда была разрешена эта проблема. Не помню, где — в Стокгольме или в Гётеборге — состоялась очень интересная для нас поездка на пароходе по фьордам.

Там я имел интересный разговор с одним итальянским математиком, фамилии которого сейчас не могу припомнить. Кажется, это был Сегре. Он спросил меня, как решился я перейти от таких разделов математики, которые естественно мне более доступны, к другим, где требуются большие вычисления. Я объяснил ему, что не очень-то боюсь вычислений, так как делаю их в уме довольно легко, а кроме того, меня побуждают к этому этические соображения: я хочу заниматься вопросами, которые важны для общечеловеческих целей. Я рассказал ему также о тех трудностях, которые стоят передо мной в связи с задачей об играх. Он высказал некоторые одобряющие меня общие соображения. Хотя они и не имели конкретных математических последствий, всё же, вернувшись с конгресса, я начал заниматься дифференциальными играми. Сразу стал стараться решить задачу, которую теперь принято называть контрольным примером. Стараясь подойти к ней, я произвёл огромные вычисления. После чрезвычайных усилий мне удалось построить общую теорию, под которую подходил контрольный пример. Тогда я ещё не знал, что дифференциальными играми занимается в Америке Р. Айзекс ², который также занимался рассмотрением конкретных примеров преследования. Его подходы к решению отдельных задач были очень громоздки в смысле вычислений. Но моего контрольного примера он всё же решить не мог.

Таким образом, конгресс в Стокгольме дал мне толчок к тому, чтобы начать заниматься новым разделом математики, а именно дифференциальными играми. И я преуспел в этом.

ПЕРВАЯ ПОЕЗДКА В США

Рассказы Гамкрелидзе и Мищенко об их поездке в США в 1962 году вызвали у меня острое желание самому поехать туда. Они помогли мне в этом. Правда, они подверглись некоторому давлению со стороны Александры Игнатьевны. Она сказала Е. Ф. Мищенко примерно следующее: «Лев Семёнович очень хочет поехать в Америку. Если это не произойдёт, будет худо...» Видимо, они поняли, чем это может кончиться.

Поездка состоялась осенью 1964 года. О ней у нас с женой сохранились до сих пор самые лучшие воспоминания. Тогда ещё не было того злобствования со стороны некоторых американцев против всего русского. Оно возникло в последние годы. Мы общались там с Ласалем, Лефшецом, Липманом Берсом и многими другими самым дружеским образом. Это дружеское общение составило главную привлекательность поездки. Пригласил нас университет в Провидансе, где я должен был читать лекции. Поступали приглашения и с других мест.

Тогда ещё не было прямой самолётной связи между Москвой и Нью-Йорком, так что мы летели с пересадкой в Амстердаме. С нами был Д. В. Аносов, а Р. В. Гамкрелидзе и Е. Ф. Мищенко уже находились в это время в США. В Амстердаме, где очень много цветов, я преподнёс Александре Игнатьевне цветы. Не помню, что именно это было, но что-то хорошее. Голландия славится своими цветами.

Перелёт из Амстердама в Нью-Йорк был длительным и тяжёлым. Особенно тяжело было для Александры Игнатьевны, которая боится самолётов и страдает морской болезнью на них. Я переносил перелёт легче, но тоже устал. В нью-йоркском аэропорту нас встретил Ласаль и сразу же потащил на другой самолёт, летевший в Детройт. Из Детройта мы с Ласалем и Аносовым полетели в близлежащий небольшой, но очень приятный городок Эн Арбор, где в то время происходила конференция. Там нас на аэродроме тепло встретили на автомобилях Лефшец и много других людей, в том числе Мищенко и Гамкрелидзе. Они были уже там.

На конференции в Эн Арборе. 1964 г. Проф. Чезаро, Е. Ф. Мищенко, Л. С. Понтрягин, Р. В. Гамкрелидзе.

Наше путешествие по Соединённым Штатам было устроено так, что мы с женой воспринимали это как праздник в нашу честь. На этой конференции я рассказал свой первый результат по дифференциальным играм. Айзекс, находившийся среди слушателей, сообщил мне, что он уже давно занимается аналогичными проблемами. Но ту задачу, которую решил я, ему решить не удалось. Он решил похожую, но более простую задачу. Он рассказал мне, что решает эти задачи при помощи уравнений в частных производных методом, который теперь называется методом Беллмана, хотя в действительности он был предложен Айзексом задолго до Беллмана. Но работы Айзекса были засекречены и потому не были общеизвестны. Айзекс подарил мне книжку, на которой было написано: «Для служебного пользования в военно-воздушном флоте». Он объяснил мне, что ничего секретного в этой книжке уже нет.

Из Детройта мы перебрались в Провиданс, вероятно самолётом, сейчас не помню, как именно. Там нас поместили в небольшую, но очень странную гостиницу. Мы получили две небольшие, очень старомодно обставленные комнаты. Отель в основном был населён старыми, богатыми американками, которые проводили в нём остаток своей жизни после смерти мужей. Впоследствии в Канаде мне рассказывали, что американки сами выбирают себе мужей, заставляют якобы их напряжённо работать, отчего они скоро умирают, и остаются после этого богатыми вдовами. Впрочем, это могла быть шутка. Вот такими женщинами, по-видимому, и был заселён наш отель. Я прозвал его «Old ladies hotel». Цены на пищу в этом отеле были чрезвычайно высокими, так что мы ходили есть в другие места рядом с отелем.

В университете в Провидансе я рассказал свои результаты по дифференциальным играм. Должен был оставаться там дальше, но вскоре получил другие приглашения. Прежде всего, это была конференция, организованная огромной американской фирмой IBM, изготовляющей вычислительные машины. Конференция происходила вблизи Нью-Йорка, в так называемом «Country Club», т.е. в «загородном клубе», устроенном для очень богатых людей. В отеле этого клуба мы получили роскошные апартаменты. Там мы встретили Лефшеца и многих других дружески относящихся к нам математиков, в том числе Нейштадта, который пропагандировал в Америке наши работы по оптимизации и организовал издание перевода нашей основной книжки. Там я вновь повторил свой доклад о дифференциальных играх.

Путешествие из Провиданса в «Загородный клуб» было необычайно интересным. Нас вёз на автомобиле профессор Ласаль 300 миль. Ехали по великолепному шоссе среди красивых осенних лесов. Но нигде нельзя было остановиться и погулять в этом очаровательном лесу — это запрещалось, так как все эти леса — частное владение!

Америка приоткрылась нам с другой стороны. Кажется, во время этого путешествия Александра Игнатьевна наблюдала страшное зрелище. На шоссе лежала сбитая автомобилем девочка лет десяти, но ни один автомобиль не останавливался, чтобы помочь ей. Александра Игнатьевна, потрясённая, стала просить наших хозяев остановиться... Но нас мчали дальше и дальше... Ласаль объяснил нам, что будут приняты меры и без нас, а останавливаться не разрешается.

Из «Загородного клуба» нас повезли в Нью-Йорк по приглашению в Курантовский институт, который был при Нью-Йоркском университете. Там жили мы в отеле, который носил название, соответствующее своему адресу: «Дом номер один на пятой авеню».

Из Нью-Йорка мы отправились в Принстон, по приглашению Принстонского университета. Мой доклад был посвящён исключительно задаче преследования. Мне задали вопрос: не занимался ли я задачей убегания. Эта задача тоже представляет большой интерес, и после в Москве я ею занялся всерьёз! Её решение потребовало больших усилий и привело к интересным результатам.

В Принстоне мы побывали в гостях в доме Лефшеца. Там же были приняты в доме у выдающегося американского математика М. Морса, с работами которого я познакомился ещё в ранней молодости. Приглашение посетить Морса мы получили от него ещё раньше, будучи в Провидансе или Нью-Йорке. Морс сам приехал за нами, чтобы отвезти к себе в дом на автомобиле. И даже завёз нас по дороге в мастерскую, где чинились очки Александры Игнатьевны. Приём у Морса очень нам запомнился. Мы познакомились со всем семейством Морса. Обедали, фотографировались. Гуляли в саду. Много беседовали. Из Принстона поездом мы отправились обратно в Нью-Йорк, уже в Институт Рокфеллера, куда нас пригласил Кац.

В гостях у М. Морса. Нью-Йорк. 1964 г.

Там нас вновь поразила роскошь апартаментов. По моей просьбе в отель были приглашены Гамкрелидзе и Мищенко. Здесь с Гамкрелидзе произошёл забавный случай. Когда мы спустились к ужину в ресторан после приезда, его остановили и сказали, что без галстука в ресторан входить нельзя. Ему пришлось вернуться за галстуком.

В рокфеллеровском институте нас посетил известный советский дипломат Юлий Михайлович Воронцов, к которому у нас было рекомендательное письмо. Тогда он был аккредитован при Объединённых Нациях. Он показал нам здание Объединённых Наций изнутри и другие достопримечательности Нью-Йорка, в частности, самый высокий дом — знаменитый Эмпайр Стейт Билдинг. Мы были на его верхушке, осматривали оттуда Нью-Йорк. В Нью-Йорке мы осмотрели метро. Это чисто деловое, довольно грязное и мрачное устройство.

В Нью-Йорке были в гостях у Липмана Берса, который радушно принимал нас у себя. Он помог мне осуществить некоторые покупки, которые я сделал в Нью-Йорке. Именно, я купил радиоприёмник «Зенит» и кинокамеру для Александры Игнатьевны фирмы «Болекс». (Всё это безнадёжно теперь устарело.) Она уже давно мечтала приобрести кинокамеру. На этом наше пребывание в Соединённых Штатах окончилось. Прямо из рокфеллеровского института мы отправились на аэродром, чтобы лететь в Москву, домой.

В Провидансе я провёл во время этой поездки лишь незначительную часть времени. Первоначально предполагалось, что из Нью-Йорка я должен вернуться в Провиданс. Но нам уже не хотелось туда возвращаться, так как Александра Игнатьевна была чрезмерно утомлена всеми переездами. Я позвонил Ласалю и сообщил ему о том, что хотел бы не возвращаться в Провиданс. Просил его разрешения, так как он был нашим хозяином в США. Он сразу сказал мне, что должен снестись с Госдепартаментом, и после этого, на другой день, сообщил, что нам разрешено не возвращаться в Провиданс, а остаться в Нью-Йорке.

Из Нью-Йорка мы ездили в гости в загородный дом Куранта, где и ночевали. А вечером слушали семейный концерт.

Ночевка у Куранта была для меня трудной. Сам Курант происходил из Германии, по-видимому, по немецким обычаям полагалось спать под периной, которую мне и предоставили. Но это было для меня совершенно невозможно. Не помню, как я справился с этим. Визит к Куранту был омрачён ещё тем, что на вновь приобретённое замшевое пальто Александры Игнатьевны Курант собственноножно поставил кляксу, наступив на него, когда он помогал Александре Игнатьевне раздеваться. Александра Игнатьевна очень огорчилась, но по возвращении в Нью-Йорк эту кляксу удалось вывести в каком-то чистильном заведении.

Месячное пребывание в Америке было переполнено поездками, различными встречами и приёмами. Всё это было приятно, но утомительно. Приятность впечатлений основывалась на дружественном отношении к нам всех американцев.

Во время этой нашей поездки в США мы с женой объездили много городов, мест, познакомились со многими математиками и с американским образом жизни. Отношения с математиками, как я уже сказал, были самыми дружественными и оставили тёплое впечатление. Что касается американского образа жизни, то основное впечатление заключается в том, что он очень напряжённый, люди много работают и не проводят время впустую.

Во время этого пребывания в Америке Н. С. Хрущёв был снят с поста. Это событие произвело огромное впечатление на американцев. Основной вопрос был: не изменится ли политика Советского Союза в сторону более военную, а не мирную, которую поддерживал Хрущёв. Чувствовался страх перед войной и нежелание воевать. Об этом люди говорили везде: в лифте, в отеле, в магазине, на улице, в кафе, как только узнавали, что мы русские. Я думаю, и теперь американцы не очень стремятся к войне. Это не касается, конечно, администрации, которая хочет войны или, во всяком случае, грозит ею.

Главным научным результатом поездки было то, что случайно заданный мне на докладе вопрос навёл меня на новую задачу — задачу убегания в дифференциальных играх, которой до этого я совершенно не занимался, а занимался только задачей преследования. Хотя обе задачи, казалось бы, тесно связаны друг с другом, мне как-то самому не приходила в голову задача убегания.

По возвращении в Москву я серьёзно занялся ею вместе с Мищенко. Но она оказалась чрезвычайно трудной и никак не связана с задачей преследования. Из задачи преследования для неё ничего нельзя было извлечь, хотя мы долго старались это сделать.

За работой. 1960-е годы.

Первые результаты для задачи убегания были получены нами только в конце 1963 года. В 1969 году я получил более глубокий и тонкий результат, сделав при этом ошибку. Она была исправлена мною в 1970 году, и результаты были включены в мой пленарный доклад в Ницце. Задачей убегания мы занимались с Е. Ф. Мищенко, а потом я один долго и упорно. И результаты давались мне с большим трудом.

При возвращении из США нас на аэродроме встретили родственники Александры Игнатьевны и сообщили, что обе наши матери — моя и Александры Игнатьевны — в больницах, тяжело больны.

У моей матери, которая во время нашей поездки жила на даче, внезапно начался аппендицит с очень высокой температурой — около сорока градусов. В карете скорой помощи её отправили в Москву в больницу, где была сделана срочная операция. Несмотря на свой преклонный возраст (ей было уже восемьдесят четыре года), она хорошо перенесла её, но ещё некоторое время находилась в больнице.

Мать Александры Игнатьевны уже давно страдала от тяжёлой болезни сердца. Временами её помещали для лечения в Институт Склифосовского, где Александра Игнатьевна была врачом. В наше отсутствие её также поместили туда. Но на этот раз болезнь протекала очень тяжело и окончилась смертью. Ещё до смерти матери Александра Игнатьевна сама серьёзно заболела. Это было результатом трудной и утомительной поездки в Америку и тяжёлой обстановки дома, которую создавала моя мать. Поэтому Александра Игнатьевна не могла посещать Марину Павловну в больнице каждый день, а ходила к ней только через день и то с трудом. Вследствие этого она не была у неё накануне её смерти, а та уже чувствовала приближение конца. Это вызвало у Александры Игнатьевны тяжёлые переживания. Сразу же после смерти Марины Павловны Александра Игнатьевна позвонила мне об этом домой. Я тут же поехал в больницу за Александрой Игнатьевной, которая находилась в отчаянии.