 |
Многомерные случайные величины
|
|
|
|
Вопросы контроля
1. Понятие многомерной случайной величины
2. Функция распределения многомерной случайной величины
3. Плотность распределения многомерной случайной величины
4. Математическое ожидание многомерной случайной величины
5. Ковариационная матрица многомерной случайной величины
На занятии предлагается решить задачи
1. Двумерная случайная величина задана таблицей
| X\Y | -5 | -4 | -2 | ||
| 0,05 | 0,15 | 0,05 | 0,03 | 0,01 | |
| 0,07 | 0,05 | 0,06 | 0,02 | 0,04 | |
| 0,1 | 0,07 | 0,07 | 0,05 | 0,02 | |
| 0,03 | 0,03 | 0,02 | 0,05 | 0,03 |
Составить законы распределения компонент этой случайной величины.
2. Двумерная случайная величина задана таблицей
| X\Y | |||||
| 0,03 | 0,17 | 0,04 | 0,04 | 0,01 | |
| 0,06 | 0,06 | 0,06 | 0,03 | 0,03 | |
| 0,07 | 0,08 | 0,07 | 0,05 | 0,04 | |
| 0,015 | 0,04 | 0,025 | 0,04 | 0,04 |
Составить законы распределения компонент этой случайной величины.
3. Двумерная случайная величина задана таблицей
| X\Y | -3 | -2 | |||
| 0,06 | 0,08 | 0,06 | 0,05 | 0,02 | |
| 0,06 | 0,04 | 0,05 | 0,03 | 0,03 | |
| 0,07 | 0,08 | 0,05 | 0,04 | 0,04 | |
| 0,06 | 0,08 | 0,04 | 0,05 | 0,01 |
Найти математическое ожидание этой случайной величины, ковариационную матрицу этой величины.
4. Двумерная случайная величина задана таблицей
| Y\Z | |||||
| -2 | 0,04 | 0,06 | 0,06 | 0,05 | 0,04 |
| -1 | 0,08 | 0,04 | 0,04 | 0,04 | 0,03 |
| 0,08 | 0,06 | 0,05 | 0,05 | 0,05 | |
| 0,05 | 0,05 | 0,06 | 0,05 | 0,02 |
Найти математическое ожидание этой случайной величины, ковариационную матрицу этой величины.
Основные понятия математической статистики. Вариационный ряд. Графическое представление вариационного рядя. Средние величины вариационного ряда.
Вопросы контроля знаний
1. Определение математической статистики, как математической науки.
2. Определение выборки, виды выборок.
|
|
|
3. Определения варианты, ранжированного ряда вариант.
4. Определение частоты, относительной частоты (частости).
5. Определение вариационного ряда, его виды.
6. Определение полигона, гистограммы.
7. Определение эмпирической функции распределения.
8. Определение средней арифметической, свойства.
9. Определение выборочной дисперсии, свойства
Решить задачи.
1. Дана себестоимость единицы продукции в рублях для 50 предприятий: 93, 93, 90, 74, 97, 80, 87, 82, 76, 83, 96, 84, 84, 81, 84, 83, 88, 92, 76, 83, 81, 92, 86, 79, 76, 84, 92, 78, 93, 74, 89, 83, 79, 85, 79, 78, 81, 93, 86, 76, 81, 81, 71, 71, 82, 91, 84, 85, 81, 78. Построить вариационный ряд. Гистограмму, полигон. Эмпирическую функцию распределения. Найти среднюю арифметическую, среднюю квадратическую.
2. Дано числа пропусков занятий 100 студентами второго курса за 1 месяц: 5, 5, 13, 9, 13, 9, 13, 7, 13, 7, 17, 11, 15, 11, 9, 11, 9, 11, 11, 9, 9, 13, 11, 9, 11, 9, 11, 7, 9, 13, 7, 11, 9, 15, 13, 11, 13, 11, 13, 9, 13, 13, 13, 11, 15, 11, 9, 7, 11, 13, 17, 9, 13, 9, 11, 15, 11, 11, 11, 9, 13, 11, 9, 11, 13, 11, 15, 11, 7, 11, 7, 9, 11, 13, 9, 9, 11, 15, 11, 9, 17, 13, 9, 11, 11, 11, 11, 13, 11, 17, 5, 13, 13, 9, 9, 13, 9, 15, 13, 5. Построить вариационный ряд, полигон. Эмпирическую функцию распределения. Найти среднюю арифметическую, среднюю квадратическую.
3. Дано время затрачиваемое 100 студентами на дорогу в университет в минутах: 15, 17, 21, 31, 19, 19, 23, 27, 19, 21, 17, 29, 25, 31, 23, 21, 23, 21, 31, 21, 23, 31, 19, 17, 19, 35, 23, 23, 23, 31, 23, 27, 21, 31, 23, 35, 11, 21, 23, 27, 23, 27, 31, 21, 31, 21, 35, 19, 21, 23, 27, 19, 21, 23, 27, 23, 21, 27, 21, 21, 35, 17, 27, 23, 25, 19, 12, 17, 17, 21, 19, 23, 23, 23, 27, 35, 39, 39, 31, 23, 27, 23, 27, 31, 35, 39, 15, 19, 19, 21, 19, 27, 21, 19, 15, 31, 21, 23, 23, 27.Построить вариационный ряд. Гистограмму, полигон. Эмпирическую функцию распределения. Найти среднюю арифметическую, среднюю квадратическую.
4. Дано время затрачиваемое 100 студентами на подготовку к занятием в неделю в часах: 24, 26, 28, 34, 28, 32, 32, 28, 32, 36, 22, 32, 32, 30, 28, 30, 32, 30, 34, 36, 30, 26, 30, 34, 32, 30, 30, 32, 30, 28, 32, 26, 30, 30, 28, 30, 32, 28, 28, 32, 30, 26, 30, 32, 28, 30, 34, 36, 30, 32, 30, 34, 30, 32, 30, 28, 28, 30, 28, 32, 30, 30, 26, 30, 28, 34, 30, 32, 30, 32, 34, 30, 26, 30, 32, 34, 28, 30, 30, 30, 28, 30, 26, 28, 24, 30, 26, 30, 28, 34, 32, 32, 24, 30, 28, 30, 26, 34, 28, 34. Построить вариационный ряд. Гистограмму, полигон. Эмпирическую функцию распределения. Найти среднюю арифметическую, среднюю квадратическую
|
|
|
Интервальные оценки параметров распределения. Необходимый объем выборки.
Вопросы контроля знаний
1. Определение интервальной оценки параметров распределения.
2. Интервальная оценка неизвестного генерального среднего.
1. Интервальная оценка неизвестной генеральной дисперсии.
2. Интервальная оценка неизвестной генеральной доли.
3. Оценка необходимого объема выборки, для повторной и бесповторной выборки.
Решить задачи.
1. Найти 99% доверительный интервал для неизвестного математического ожидания нормально распределенной случайной величины, если известны: а) 
, б) 
.
2. Выборка из большой партии электроламп содержит 100 ламп. Средняя продолжительность горения лампы выборки оказалась равной 1000 ч. Найти 95% доверительный интервал для средней продолжительности горения лампы всей партии, если известно, что среднее квадратическое отклонение продолжительности горения лампы равно 40 ч. Предполагается, что продолжительность горения ламп распределена по нормальному закону.
3. По данным 16 независимых равноточных измерений некоторой физической величины найдены 
. Оценить истинное значение измеряемой величины с надежностью 0,999.
4. Произведено 10 измерений одним прибором без систематических ошибок, причем исправленная дисперсия ошибок измерений оказалась равной 10. Найти точность прибора с надежностью 95%.
5. Изготовлен игровой автомат, который должен обеспечить выигрыш в одном случае из100. Произведено 400 испытаний, количество выигрышей 5. Найти доверительный интервал для вероятности выигрыша с надежностью 0,999.
6. Среди 250 деталей изготовленных станком автоматом 32 нестандартных. С надежностью 99% оценить неизвестную вероятность изготовления станком нестандартных деталей.
7. При исследовании доходов населения города в 20000, в случае бесповторной выборки для 1000 человек получены распределения доходов
| Менее500 | 500-1000 | 1000-1500 | 1500-2000 | 2000-2500 | Свыше 2500 |
|
Найти границы среднего дохода с надежностью 99%. Каким должен быть объем выборки, чтобы гарантировать те же границы с надежностью 0,9973?
|
|
|
8. В целях изучения среднедушевого дохода семей в 2000 году была произведена 1% выборка из 30 тысяч семей. По результатам обследования среднедушевой доход семьи составил 15 тысяч рублей, со среднеквадратическим отклонением, равным 7 тысяч рублей. Найти 95% доверительный интервал, покрывающий неизвестный генеральный среднедушевой доход, генеральная совокупность подчинена нормальному закону распределения.
9. Для изучения демографических исследований обследовали 350 семей. Оказалось, что среди обследованных 45% составляют семьи из трех человек. Найти 95% доверительный интервал для генеральной доли числа семей состоящей из трех человек.
10. Производится обследование на предмет среднего времени просмотра телепередач в 18 до 24 часов. Каким должен быть объем выборки, что бы отклонение выборочной средней от генеральной не должно превышать 5 минут (по абсолютной величине) с вероятностью 0,99? Если в предыдущих исследованиях средне стандартное отклонение времени просмотра передач составило 40 минут.
11. Аудиторская фирма получила заказ на контроль состояния счетов некоторого банка. Для этого случайно отбираются 75 счетов. По 35 из них имело движение денежных средств в течении месяца. Найти 99% доверительный интервал, оценивающий долю счетов в генеральной совокупности, по которым имело место движение денежных средств в течении месяца.
12. Менеджер компании, занимающийся прокатом автомобилей, оценивает среднюю величину пробега одного автомобиля в течении месяца. Из 280 автомобилей компании с помощью бесповторной выборки отобрано 40 автомобилей. Установлено, что средний пробег автомобиля составляет 1254 км, со стандартным отклонением 235 км. Найти 95% доверительный интервал покрывающий средний пробег автомобилей всего парка в течении месяца.
13. Коммерческий банк, изучая возможность предоставления долгосрочных кредитов населению, проводит опрос своих клиентов для определения размеров такого рода кредитов. В банке 15000 клиентов. Опрошено 13% с помощью бесповторной выборки. Среднее значение необходимого кредита составило 120 тысяч рублей, со стандартным отклонением в 25 тысяч рублей. Найти 95% доверительный интервал для оценки среднего значения кредита в генеральной совокупности.
|
|
|
14. Для изучения размера среднемесячной заработной платы проводится повторная выборка. Каким должен быть объем этой выборки, что бы с вероятностью 0,997 можно было утверждать, что выборочная средняя зарплата отличается от генеральной средней заработной платы по абсолютной величине не более чем на 15%. Выборочная средняя заработная плата равна 25 тысяч рублей, среднеквадратическое отклонение равно 15 тысяч рублей.
15. При выборочном опросе 1500 телезрителей оказалось, что 570 из них предпочитают программы НТВ. Построить 99% доверительный интервал, покрывающий генеральную долю числа зрителей, предпочитающих программы НТВ.
16. Средне месячный бюджет студентов города Ханты-Мансийска оценивается по случайной выборке. С вероятностью 0,954 найти необходимый объем выборки для такой оценки, если среднеквадратическое отклонение полагается равным 2 тысячи рублей, предельная ошибка отклонения не должна превышать 500 рублей.
17. В 2002 году выборочное обследование ХМАО показало, что 35% обследованных имеют среднедушевой доход не более 24 тысяч рублей. В каких границах находится доля населения, имеющая такой же доход, если объем генеральной выборки 45 тысяч, выборка не более 10% и осуществляется случайным бесповторным выбором, доверительная вероятность 0,95.
|
|
|
