Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

Два неравенства называются равносильными, если множества их решений совпадают




 

Решение линейных неравенств вида ax>b, ax<b, ax≥b,ax≥b,b<ax<c.

ax>b (1)

Если a>0, то неравенство (1) равносильно неравенству x> b/a, x (b/a;+∞).

Если a<0, то неравенство (1) равносильно неравенству x<b/a, x (-∞; b/a).

Eсли a=0, то 0x>b, если b<0, то x (-∞; +∞),

если b>0, то решений нет,

если b = 0, то решений нет.

ax<b (2)

Если a>0, то неравенство (1) равносильно неравенству x<b/a, x (-∞; b/a). Если a<0, то неравенство (1) равносильно неравенству x> b/a, x (b/a;+∞).

Eсли a=0, то 0x<b, если b<0, то решений нет,

если b>0, x (-∞; +∞),

если b = 0, то решений нет.

ax≤b (3)

Если a>0, то неравенство (1) равносильно неравенству x< b/a, x (-∞; b/a]. Если a<0, то неравенство (1) равносильно неравенству x > b/a, x [b/a;+∞).

 

Eсли a=0, то 0x≤b, если b<0, то решений нет,

если b>0, x (-∞; +∞),

если b = 0, x (-∞; +∞).

ax≥b(4)

Если a>0, то неравенство (1) равносильно неравенству x > b/a, x [b/a;+∞). Если a<0, то неравенство (1) равносильно неравенству x< b/a, x (-∞; b/a].

 

Eсли a=0, то 0x≥b, если b>0, то решений нет,

если b<0, x (-∞; +∞),

если b = 0, x (-∞; +∞).

b<ax<c (5)

Если a>0, то неравенство (1) равносильно неравенству b/a<x<c/a, x (b/a;c/a). Если a<0, то неравенство (1) равносильно неравенству c/a<x< b/a, x (c/a; b/a).

Если a=0, то b<0x<c, если b<0, c>0, то x (-∞; +∞),

если b>0, c>0 или b<0, c<0 или b>0, c<0, то решений

нет.

 

30. Решите неравенство: .

Упражнение 4

Решите неравенство (x-9)2(x+6)(x+5)2 ≤ 0.

Ответ: (-∞; -3)U(1;+∞) – неверный.

Правильный ответ (-∞; -3)U(1; 5) U (5;+∞). Ошибка заключается в том, что при решении этого неравенства методом интервалов не исключено число 5, при этом значении x неравенство обращается в равенство.

 

Задание 5 Неверный ответ Ошибка Верный ответ Причина ошибки
Решите неравенство . (-∞; -3) U(1;+∞) Число 5 из интервала (1;+∞) не является решением. (-∞; -3)U (1; 5) U (5;+∞). При решении этого неравенства методом интервалов из множества решений не исключено число 5, при этом значении x неравенство обращается в равенство.  
Решение 1.Нули числителя x=5. 2. Нули знаменателя x=1, x=-3. 3.Отмечаем найденные точки на оси. 4.Определяем знак функции, стоящей в левой части неравенства в каждом из полученных интервалов. 5. Записываем ответ в соответствии со знаком неравенства: (-∞; -3)U(1; 5) U (5;+∞).

 

 

Упражнение 5

Решите неравенство:

 

Задание 6 Неверный ответ Ошибка Верный ответ Причина ошибки
Укажите наименьшее натуральное число, которое удовлетворяет неравенству: │1-x│>2   В определении границ интервала   Ошибка в том, что число 3 не принадлежит интервалу (3; +∞), наименьшее натуральное число, принадлежащее этому интервалу это 4.  
Решение │1-x│>2 │1-x│2>22 (1-x-2)(1-x+2) > 0 (-1-x)(3-x) > 0 x (-∞; -1) U(3; +∞), наименьшее натуральное число, которое принадлежит интервалу (3; +∞)- это число 4.
Для справки Интервал (a; +∞) - это множество действительных чисел, строго больших a.

Упражнение 6

Укажите наименьшее натуральное число, которое удовлетворяет неравенству: │x + 5│>2.

Для справки

 

Чтобы решить неравенство методом интервалов (например,

х² + х > 6), надо:

1) перенести все слагаемые в левую часть так, чтобы правая часть оказалась равной нулю (получим: х² + х – 6 > 0);

2) найти область определения функции, стоящей в левой части (для данной функции y= х² + х – 6 х – любое число);

3) приравнять левую часть к нулю и решить полученное уравнение (х² + х – 6 = 0, D = 25, x1=2, x2= -3);

4) отметить на числовой прямой область определения и полученные решения уравнения, в результате прямая разобьётся на некоторое число промежутков (на 3):

 

 
 


-3 2

 

5) в каждом из получившихся промежутков выбрать по точке

(возьмём в первом промежутке -4, во втором 0, в третьем 3);

6) вычислить значение функции, стоящей в левой части неравенства пункта 1 (х² + х – 6 > 0), в каждой из выбранных точек (в точке х=-4 х² + х – 6=6, в точке х=0 х² + х – 6 =-6, в точке х=3 х² + х – 6=6);

7) над каждым из промежутков на числовой прямой поставить знак ‘+’, если вычисленное значение в соответствующей точке положительно, и знак ‘-’ - если отрицательно (в первом и третьем промежутке получились положительные значения, во втором – отрицательное):

 

+ - +

-3 2

 

в ответе записать промежутки, знак которых совпадает со знаком неравенства

 

(-∞; -3) или (2; +∞)).

 

 

31.Решите неравенство: . Ответ: [2;+∞) – неверный правильный ответ: [2;+∞) и x =1. Ошибка заключается в том, что при решени этого неравенства методом интервалов пропущена точка х =1, в которой значение функции, стоящей в левой части неравенства равно нулю, при этом знак второго множителя не имеет значения.

 

Задание 7 Неверный ответ Ошибка Верный ответ Причина ошибки
Решите неравенство . [2;+∞) Потеряно решение х =1 [2;+∞) и x =1. Ошибка заключается в том, что при решени этого неравенства методом интервалов пропущена точка х =1, в которой значение функции, стоящей в левой части неравенства равно нулю, при этом знак второго множителя не имеет значения  
Решение . 1.Найдем область определения функции, стоящей в левой части неравенства: подкоренное выражение должно быть неотрицательным x2-3x+2≥0, решение этого неравенства (- ∞; 1] [ 2;+∞), 2.Найдем нули функци x=1, x=2(x=1,5 не входит в указанную область определения). Определяем знаки функции y = на каждом из промежутков (- ∞; 1] и [2;+∞). В ответе запишем значения x, при которых значения функции y = неотрицательны, т.е. [2;+∞) и x =1.

 

Упражнение 7

Решите неравенство:

 

Задание 8 Неверный ответ Ошибка Верный ответ Причина ошибки
Решите неравенство 0,2x-3 >1. (3; +∞) Не изменен знак неравенства (-∞;3). Ошибка в том, что показательная функция y = 0,2x – убывающая, поэтому при переходе от значений функции к значениям аргумента знак неравенства изменяется  
Решение 0,2x-3 >1 x-3 < 0 x <3 x (-∞;3).
Для справки   Если a >1, то неравенство af(x)> ag(x) равносильно неравенству f(x) > g(x), (неравенство af(x)< ag(x) равносильно неравенству f(x)< g(x)) Если 0< a<1, то неравенство af(x)> ag(x) равносильно неравенству f(x) < g(x), (неравенство af(x)< ag(x) равносильно неравенству f(x)> g(x))  

 

Упражнение 8

Решите неравенство 0,1x-4 ≤ 1.

 

Задание 9 Неверный ответ Ошибка Верный ответ Причина ошибки
Решите неравенство 0,1x >0,01. (2; +∞) Не изменен знак неравенства (-∞;2) Ошибка в том, что при решении неравенства неверно использовалось свойство монотонности функции y = 0,1x. Показательная функция y = 0,1x убывающая, поэтому, если 0,1x >0,12, то x<2.    
Решение 0,1x >0,01, так как показательная функция y = 0,1x убывающая, то x<2, то x (- ∞; 2)

 

Упражнение 9

 

Решите неравенство 0,5x <0,25.

 

 

Задание 10 Неверный ответ Ошибка Верный ответ Причина ошибки
Решите неравенство (⅓)2x-8∙(⅓) x -9>0 (-2; +∞) Не решено неравенство (1/3)x >9 (-∞;-2) Неравенство y2 -8y – 9>0. не решено относительно y.
Решение (⅓)2x -8∙(⅓) x -9>0, пусть (1/3)x =y, тогда данное неравенство будет иметь вид: y2 -8y – 9>0, решим это неравенство методом итервалов, получим y>9 или y <-1. Возвращаясь к замене, получим (1/3)x >9 или(1/3)x <-1. Решение первого неравенства: x < -2, x (-∞;-2) (основание показательной функции 1/3 <1), второе неравенство решений не имеет. Ответ: (-∞;-2).    

 

Упражнение 10

 

Решите неравенство: 0,04x + 0,2x - 2 ≤ 0.

 

 

32. Решите неравенство: log2x < 3. Ответ: (-∞;8) – неверный. Правильный

ответ: (0;8). Ошибка в том, что не учтена область определения логарифмической функции y = log2x, D(og2x) = (0; +∞), решение данного неравенства – пересечение промежутков (-∞;8) и (0; +∞).

 

Задание 11 Неверный ответ Ошибка Верный ответ Причина ошибки
Решите неравенство log2x < 3 (-∞;8) Не учтена область определения логарифмической функции (0;8) Не учтена область определения логарифмической функции y = log2x, D(log2x) = (0; +∞), решение данного неравенства – пересечение промежутков (-∞;8) и (0; +∞).  
Решение log2x < 3

 

Упражнение 11

log0,5x > -1

 

 

33. Решите неравенство log0,5x >3. Ответ: (1/8; + ∞) – неверный.

Правильный ответ: (0;1/8).

Ошибка в том, что логарифмическая функции y = log0,5x – убывающая, поэтому при переходе от значений функции к значениям аргумента знак неравенства изменяется.

 

Задание 12 Неверный ответ Ошибка Верный ответ Причина ошибки
Решите неравенство log 0,5x >3 (1/8; + ∞) Не изменен знак неравенства (0;1/8) Логарифмическая функции y = log0,5x – убывающая, поэтому при переходе от значений функции к значениям аргумента знак неравенства изменяется.    
Решение log 0,5x >3
Для справки Неравенство loga f(x)> loga g(x) равносильно неравенству f(x)> g(x), при a>1 и дополнительных условиях g(x)>0, f(x)>0. Неравенство loga f(x)> loga g(x) равносильно неравенству f(x)< g(x),при 0<a<1 и дополнительных условиях g(x)>0, f(x)>0.  

 

Для справки

 

Неравенство loga f(x)> loga g(x) равносильно неравенству f(x)> g(x),при

a>1 и дополнительных условиях g(x)>0, f(x)>0.

Неравенство loga f(x)> loga g(x) равносильно неравенству f(x)< g(x),при

0<a<1 и дополнительных условиях g(x)>0, f(x)>0.

Упражнение 12

log0,1x ≤2.

34.Решите неравенство 0,2x-3 >1. Ответ: (3; +∞) – неверный. Правильный ответ (-∞;3). Ошибка в том, что показательная функция y = 0,2x – убывающая, поэтому при переходе от значений функции к значениям аргумента знак неравенства изменяется.

 

Для справки

 

Если a >1, то неравенство af(x)> ag(x) равносильно неравенству

f(x) > g(x), (неравенство af(x)< ag(x) равносильно неравенству f(x)< g(x))

Если 0< a<1, то неравенство af(x)> ag(x) равносильно неравенству

f(x) < g(x), (неравенство af(x)< ag(x) равносильно неравенству f(x)> g(x))

35. Решите уравнение lgx + lg(x - 3) > 1. Решение x + x -3 > 10, x > 6,5 и ответ (6,5;+ ∞) - неверны. Ошибка в том, что сумма логарифмов равна не логарифму суммы, а логарифму произведения, поэтому нужно сравнивать не сумму а произведение аргументов с числом 10, т.е. x (x -3) > 10 с учетом области определения получим правильный ответ: (5;+ ∞).

 

Задание13 Неверный ответ Ошибка Верный ответ Причина ошибки
Решите неравенство lgx + lg(x - 3) > 1 (6,5;+ ∞) Неверно применяются свойст ва логарифмов (5;+ ∞). Сумма логарифмов равна не логарифму суммы, а равна логарифму произведения, поэтому нужно сравнивать не сумму, а произведение аргументов с числом 10.    
Решение lgx + lg(x - 3) >1 x (5;+ ∞).  

 

 

Упражнение 13

Решите неравенство lg(x - 4) + lg(x +4) < 1

 

 

Задание 14 Неверный ответ Ошибка Верный ответ Причина ошибки
Решите неравенство sin x >0,5. x> неверно определен промежуток изменения для x ), Решение тригонометрических неравенств не аналогично решению линейных неравенств (3х =6, х=2. 3х >6, x > 2).
Решение Так как период функции y = sinx равен 2π, то рассмотрим решение неравенства sin x > 0,5 на этом периоде, например, на отрезке [0;2π]. 1.Отметим ординату, равную 0,5. 2.На единичной окружности отметим две точки, ординаты которых равны 0,5. 3.Запишем угол, соответствующий одной из этих точек из отрезка [0;2π], это угол . 4.Двигаясь от этой точки по окружности вверх (проходим через точку ), называем угол, соответствующий второй точке. 5. Второй угол будет . 6.x , с учетом периодичности функции y = sinx получим ответ: .
Для справки Алгоритм решения неравенства sinx >a (sinx <a),│a│<1 с помощью единичной окружности: 1.Отметить ординату, равную a. 2. Найти на окружности две точки, у которых такая ордината. 3.Записать угол, соответствующий одной из таких точек. 4. Определить в соответствии со знаком неравенства по какой из двух дуг окружности нужно двигаться к другой отмеченной точке. 5. Называя промежуточные углы, определить угол, соответствующий второй отмеченной точке. 6. Записать ответ от меньшего угла к большему, добавляя период.

 

Упражнение 14

Решите неравенство: cosx < .

 

 

6.

 

Задание 15 Неверный ответ Ошибка Верный ответ Причина ошибки
Решите неравенство cosx < 0,5. неверно определен промежуток изменения для x Ошибка в выборе интервала между двумя значениями аргумента, в которых значение функции равно 0,5.
Решение Так как период функции y = cosx равен 2π, то рассмотрим решение неравенства cosx < 0,5 на этом периоде., например, на [0;2π]. 1. Отметим абсциссу 0,5. 2. На единичной окружности отметим две точки, у которых такие абсциссы. 3. Запишем угол, соответствующий одной из этих точек из отрезка [0;2π], это угол . 4. Двигаясь по окружности вверх через точки , назовем угол, соответствующий второй точке. 5. Это угол 6. x , с учетом периодичности функции y = cosx получим ответ:
Для справки Алгоритм решения неравенства cosx >a (cosx <a),│a│<1 с помощью единичной окружности: 1.Отметить абсциссу, равную a. 2. Найти на окружности две точки, у которых такая абсцисса. 3.Записать угол, соответствующий одной из таких точек. 4. Определить в соответствии со знаком неравенства по какой из двух дуг окружности нужно двигаться к другой отмеченной точке. 5. Называя промежуточные углы, определить угол, соответствующий второй отмеченной точке. 6. Записать ответ от меньшего угла к большему, добавляя период.

 

 

Упражнение 15

Решите неравенство sinx <- 0,5.

 

 

Задание16 Неверный ответ Ошибка Верный ответ Причина ошибки
Решите неравенство tg x ≥ 1 Число 2πk, k не принадлежит множеству решений неравенства Ошибка в том, что при решении неравенства не учтена область определения функции у = tg x.  
Решение Так как функция y = tg x периодическая с периодом π и определена для всех x R/ , то рассмотрим решение неравенства на периоде, например, на интервале (-π/2;π/2). На этом интервале функция y= tg x возрастает, а значение,равное 1 принимает при x = π/4, следовательно, решение на этом периоде есть интервал [ π/4; π/2). C учетом периода, решение данного неравенства – это серии промежутков вида: .

 

Упражненеие 16

Решите неравенство tg x ≤

 

 

Задание 17 Неверный ответ Ошибка Верный ответ Причина ошибки
Решите неравенство . [0; 1) Пропущены решения: (-∞;0).   (-∞;1). При решении рассмотрен лишь случай, когда правая часть неравенства неотрицательна.    
Решение x (-∞; 1)
Для справки Неравенство вида равносильно следующей совокупности неравенств:

 

 

Упражнение 17

Решите неравенство: .

 

 

Задание18 Неверный ответ Ошибка Верный ответ Причина ошибки
Решите неравенство (x-5)· log2 (x/2)<0. (-∞;2) U (2;5). Интервал (-∞;2) не является решением данного неравенства.   (2;5) Не учтена область определения функции y=(x-5)log2 (x/2)
Решение (x-5)log2 (x/2)< 0. Решим неравенство методом интервалов. 1. D((x-5)log2 (x/2)) =(0; + ∞). 2. Нули функции y = (x-5)log2 (x/2): x=5, x=2. 3.Отмечаем на оси D((x-5)log2 (x/2)) и нули функции. 4. Определяем знак в каждом из промежутков (0;2), (2;5), (5; + ∞). 5. Выбираем промежуток в соответствии со знаком данного неравенства: (2;5)  
Для справки Чтобы решить неравенство методом интервалов надо: 1.Привести неравенство к виду f(x) = 0 2.Найти область определения функции y=f(x) 3.Найдите нули функци y=f(x) 4.Отметить на оси OX нули функции и область ее определения 5.Определить знак функции f(x) в каждом из промежутков, на которые нули функции и область ее определения разбивают ось. 6. Записать ответ в соответствии со знаком неравенства.    

 

Упражнение 18

Решите неравенство: (x+1)log0,5 (x-4) < 0.

 

Задание 19 Неверный ответ Ошибка Верный ответ Причина ошибки
Решите неравенство:   x = πn, При решени не учтена область определения дроби.
Решение  
Для справки Дробь определена при условии: b ≠ 0.

 

 

Упражнение 19

Решите неравенство:

 

Задание 20 Неверный ответ Ошибка Верный ответ Причина ошибки
Решите неравенство:     Не при всех x определены подкоренные выражения [1;3] При решении не учтена область определения арифметического корня.
Решение Поскольку по определению арифметического квадратного корня каждый из корней суммы неотрицателен, то эта сумма положительна (каждый корень обращается в ноль при разных значениях x) для всех x, удовлетворяющих системе: . Решение этой системы и будет решением данного неравенства.
Для справки Арифметическим квадратным корнем из числа a называется неотрицательное число, квадрат которого равен a. Область определения функции y = есть множество неотрицательных чисел, т.е. .

 

Упражнение 20

Решите неравенство

 

 

Задание 21 Неверный ответ Ошибка Верный ответ Причина ошибки
Решите неравенство   x При x=1 левая часть неравенства равна нулю x Числитель дроби, стоящей в левой части неравенства больше нуля или равен ему при x=1, это значение не было исключено из решения
Решение Знаменатель дроби трехчлен с положительным первым коэфффициентом и отрицательным дискриминантом, значит при всех x он принимает положительные значения. Числитель этой дроби, больше нуля при всех x, кроме 1. Значит решения данного неравенства: x
Для справки │x│≥ 0, равенство выполняется, если x = 0.

 

Упражнение 21

Решите неравенство

 

 

Задание 22 Неверный ответ Ошибка Верный ответ Причина ошибки
Решите неравенство: lg sinx + lg cosx < 0   x Не при всех x определены логарифмы в левой части неравенства (2πn;π/2+2πn), n Не найдена область определения левой части неравенства
Решение Найдем область определения функции, стоящей в левой части данного неравенства: x .При этих значениях x sin x и cosx больше нуля и меньше 1, а поскольку основание логарифма 10>1, то по свойству логарифмической функции с таким основанием каждый из логарифмов отрицателен, следовательно, решения неравенства - это все x из найденной области определения, т.е. .
Для справки Знаки логарифмической функции y = logax с основанием a >1: если x >1, то logax >0; если 0 < x <1, то logax < 0.  

 

 

Упражнение 22

Решите неравенство lоg 0,5sinx + lоg0,5cosx > 0

 

Задание23 Неверный ответ Ошибка Верный ответ Причина ошибки
Решите неравенство:       x При x=1 левая часть неравенства равна нулю x Не учтено, что неравенство не- строгое
Решение │x-1│>0 x

 

Упражнение 23

Решите неравенство:

 

Задание 24 Неверный ответ Ошибка Верный ответ Причина ошибки
Решите неравенство logx+2(5- -│x-3│) ≥ 0 (-2;7] x =-1- не решение данного неравенства (-2;-1)U(-1;7].   Ошибка в том, что при решении неравенства не учтено, что x = -1 не входит в область определения функции y = logx+2(5-│x-3│.  
Решение logx+2(5-│x-3│)≥ 0  
Для справки Неравенство loga b > 0 равносильно нервенству (a-1)(b-1) > 0 при условии b>0, a>0, a ≠ 1.  

 

Упражнение 24

Решите неравенство: logx +3(5x-3)≥ 0

 

 

Задание25 Неверный ответ Ошибка Верный ответ Причина ошибки
Решите неравенство:     [-2- ;-1] отрезок [-2- ; -1] – не решения данного неравенства Не учтено необходимое условие, при котором данное неравенство имеет решение: 1+2x ≥ 0
Решение    

 

Упражнение 25

 

Решите неравенство: │x2 -7│< -x -5.

 

Задание26 Неверный ответ Ошибка Верный ответ Причина ошибки
Решите неравенство:   (1;2)U(2; +∞). Ошибка в том, что не все решения найдены. (1;2)U(2; +∞) U { -1, -2, -3…}.   Решения (1;2)U(2; +∞) найдены при условии, что x-1>0, x ≠1. По определению степени с целым показателем основание этой степени может быть и отрицательным, и равным 1.    
Решение  

 

Упражнение 26

Решите неравенство .

 

Задание27 Неверный ответ Ошибка Верный ответ Причина ошибки
Решите неравенство: sin(πcosx) > 0.   Решений нет. При некоторых x неравенство верно. , Причина ошибки в том, что решение неравенства 2πk < π cosx < π +2πk (1), k - это объединение решений этого неравенства для каждого k ,а не общие решения для всех k . Для k = 0 неравенство (1) имеет решения.  
Решение Так как функция y = cosx периодическая с периодом 2π, то рассмотрим решение на периоде, например, на отрезке [-π;π]. Положительные значения функция y = sin (πcosx) принимает, если 2πk < π cosx < π +2πk, k или 2k < cosx < 1+2k, k . При k = 0, 0 < cosx < 1, на [-π;π] косинус принимает положительные значения для или с учетом периода , При остальных целых │k│≥1 неравенство k < cosx < 1 +2k, решений не имеет.    

 

Упражнение 27

Решите неравенство: cos(πcosx) > 0.

 

Задание28 Неверный ответ Ошибка Верный ответ Причина ошибки
Решите неравенство:   . Потеряно решение x =-2π. Решения данного неравенства - не только значения x из отрезков, в которых sinx ≤ 0, но и отдельные значения x, при которых sinx = 0, a 4π2 – x2 ≥ 0.  
Решение 1. Найдем область определения функции : 4π2 – x2 ≥ 0 2.Найдем нули функции : sinx = 0 или 4π2 – x2 =0 для , x =-2π; -π, 0, π; 2π. 3. Отметим область определения и нули функции на оси ox. 4. В каждом из интервалов определим знаки функции 5.Запишем ответ в соответствии со знаком неравенства: :  

 

Упражнение 28

Решите неравенство: -

 

Задание29 Неверный ответ Ошибка Верный ответ Причина ошибки
Решите неравенство:   │1+log2 x│sin2πx ≤1       [0,25;0,5] Потеряно решение x = 1   [0,25;0,5], x=1. Решения [0,25;0,5] найдены при условии, что основание > 0, │1+log2x│≠1. По определению степени с целым показателем основание этой степени может быть и нулем, и равным 1.  
Решение   │1+log2 x│sin2πx ≤1      

 

 

Упражнение 29

Решите неравенство:

│1+ lg x│сos0,5πx ≥ 1.

 

 

 

Ответы к упражнениям

 

1. а)Ответ (-∞; -4] неправильный.

Ошибка в том, что при делении обеих частей неравенства на отрицательное число -2,5 знак неравенства не был изменен.

Правильный ответ: [-4;+∞).

 

б).Ответ: (4;+∞) – неправильный.

Для решения этого неравенства надо обе его части разделить на -1 и при этом изменить знак неравенства (≥ на ≤).

Поделиться:





Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...