Главная | Обратная связь
МегаЛекции

Краткие теоретические сведения





Особенность прохождения гармонического тока через реактивные элементы цепи – емкостные и индуктивные сопротивления связана со смещением в этих элементах фаз токов относительно напряжений. Это приводит к необходимости характеризовать токи и напряжения не только их численным значением, но и фазой (углом) относительно некоторого выбранного уровня отсчета. Мгновенное значение гармонического тока (напряжения) можно выразить тригонометрической функцией

i = Im sin (ωt + φ). (1)

При этом в процессе расчета цепей приходится производить действия с тригонометрическими функциями разных аргументов (фаз), что приводит к громоздким вычислениям. Обычно расчет цепей гармонического тока производится так называемым символическим методом с применением комплексных величин. Суть его заключается в следующем.

Теория показывает, что гармоническая функция (1) может быть отображена комплексной функцией

. (2)

Благодаря этому операция с тригонометрическими функциями заменяется более простой и наглядной операцией с комплексными числами. Кроме того, оперируют не с мгновенными значениями, а с амплитудными комплексными значениями, для чего временной член в выражении (2) отбрасывают. Выражение комплексной амплитуды

содержит в себе информацию о том, какая величина амплитуды колебаний тока (Im – модуль комплекса) и каково смещение данного колебания по фазе относительно выбранного уровня (φ – аргумент комплекса).

На практике величину переменного тока и напряжения характеризуют действующим значением. Оно определяется как среднеквадратичное мгновенного значения за период. Для гармонического тока (напряжения) действующее значение I просто связано с амплитудным значением:

.

С токами и напряжениями, выраженными комплексно, в процессе расчета производятся обычные математические действия. При этом, где это необходимо, по формуле Эйлера от показательной формы комплексного числа переходят к его алгебраической форме:



. (3)

Здесь Iа – действительная, jIP – мнимая части комплексного числа, записанного в алгебраической форме,

Переход от алгебраической формы комплекса к показательной осуществляется по формулам

, .

Отметим, что каждому комплексному числу можно поставить в соответствие вектор на комплексной плоскости. На рисунке 1 иллюстрируется связь параметров комплекса (3) с координатами вектора. Знаками ±1 отмечена ось действительных значений комплекса, ±j – мнимых значений. Положительный отсчет угла ведется против часовой стрелки.

 
 

 

 


Рис.1

 

Отображение комплекса векторами дает возможность наглядно представить токи и напряжения данной цепи совокупностью векторов, что дает ее векторную диаграмму.

Символический метод требует выражения сопротивления цепи также в виде комплексов. Определим их.

Как известно, в общем случае ток и напряжение на элементах цепи R, L, С связаны следующими соотношениями:

 

; ; .

 

Перейдем в этих выражениях к комплексным значениям. Для этого мгновенное значение тока i заменим на комплекс . В результате получим

(4)

В выражениях (4) величины

,

представляют собой запись индуктивного и емкостного сопротивлений в комплексной форме. Их особенность, в отличие от активного сопротивления R, связана с зависимостью от частоты. Наличие множителя +j или –j определяет их действие, вызывающее смещение фазы тока относительно напряжения на +90º или –90º соответственно.

Расчет линейных цепей гармонического тока основывается на законах Кирхгофа в комплексной форме и при этом остаются применимы все те методы, которые применяются для расчета цепей постоянного тока (метод контурных токов, узловых потенциалов и др.).

Потребляемая цепью гармонического тока полная мощность складывается из двух составляющих:

P = UI cos φ – активной мощности;

Q = UI sin φ – реактивной мощности

(φ – угол сдвига фаз между напряжением и током).

Активная мощность потребляется активными элементами, преобразующими её в другие виды энергии (тепловую, механическую, световую и др.). Реактивная мощность потребляется реактивными элементами L и С и идет на создание магнитного и электрического полей. Существенное отличие реактивной мощности от активной в том, что её среднее значение за период равно нулю. Причем потребление реактивной мощности чередуется с её возвратом через каждые четверть периода.

Вводится также понятие полной мощности

Размерность полной, активной и реактивной мощностей одинакова, однако для них вводятся разные наименования: для полной мощности – вольтампер (ВА), для активной – ватт (Вт), для реактивной – вольтампер реактивный (ВАр).

Ниже мы приводим пример расчета цепи гармонического тока. Для электрической цепи, схема которой показана на рис. 2, определим токи в ветвях, напряжения на элементах, мощность, потребляемую цепью. Построим векторную диаграмму.

 
 

 

 


Рис. 2

 

Дано: R = 100 Ом, ХL = 30 Ом, XC = 40 Ом, Е = 100 В.

Для определения токов воспользуемся методом контурных токов.

Исходные уравнения:

.

 

Откуда

 

= = 1200–j1000 = 156 ;

 

 

Определим напряжения на элементах:

Определим мощности, потребляемые цепью:

Р = I1·Е соs φ = 0,64 100 cos 50º12' = 40 Вт,

Q = I1·Е sin φ = 0,64 100 siп 50º12' = 49,2 ВАр,

S = I1·Е = 0,64·100 = 64 ВА.

По данным расчета строим векторную диаграмму (рис. 3).

 

 


Рис. 3

 

Рабочее задание

1. Для электрической цепи, схема которой приведена на

рис. 4, постройте векторную диаграмму токов и напряжений при условии равенства модулей всех сопротивлений R1 = R2 = R3 = XC1 = XC2.

Примечание. Построение диаграммы начните с векторов , взяв их длины равными 4 см.

 
 

 

 


Рис. 4

 

2. Включите на вход цепи (рис.4) генератор переменного напряжения, выбрав его частоту так, чтобы модуль реактивного сопротивления был равен величине активного сопротивления R.

3. Выполните следующие измерения:

а) всех напряжений и токов, указанных в п.1 (ток I3 измеряется косвенным способом по данным напряжения на резисторе R3) ;

б) фазовых углов напряжений относительно входного напряжения (на рис.5 показано включение фазометра для измерения фазового угла напряжения ).

 

 


Рис. 5

 

4. По данным векторной диаграммы определите численные значения всех токов и напряжений, указанных в п.1, и их фазовые углы.

Примечание. За отсчетное значение напряжения примите величину U1, за отсчетное значение тока – величину .

5. Пользуясь данными измерений определите численные значения активной, реактивной и полной мощностей, потребляемых цепью. Необходимый для расчета фазовый угол определите из векторной диаграммы.

6. Пользуясь данными измерений и значением фазового угла, определенным в п.5, вычислите комплекс входного сопротивления цепи (активную и реактивную составляющие). Вычислите комплексное сопротивление цепи, используя параметры элементов цепи, указанные в макете. Сравните полученные результаты.

7. По данным измерений запишите мгновенные значения напряжений .

8. По заданным входному напряжению и параметрам элементов цепи рассчитайте комплексы токов и напряжений на элементах цепи (модули и аргументы).

 

Контрольные вопросы

1. Какими параметрами характеризуется синусоидальный ток. Что понимается под действующим значением тока?

2. В чем особенность прохождения синусоидального тока через элементы R, L, С? Почему при расчете синусоидальных токов применяются комплексные величины?

3 Какие существуют формы записи комплексных чисел?

4. Каков физический смысл активной и реактивной мощностей?

5. Что такое коэффициент мощности?

6. Как записываются выражения для индуктивного и емкостного сопротивлений в комплексной форме?

7. Как записывается формула комплексного сопротивления участка цепи при последовательном соединении элементов R, L, C.?

8. Какова методика расчета цепей синусоидального тока при смешанном соединении сопротивлений?

9. Как рассчитываются активная, реактивная, полная мощности? Каков их физический смысл?

 

Таблица сводных данных

Определяемая величина Диаграмма Измерения Расчет
U1      
U12      
U23      
U13      
U34      
U45      
U35      
U25      
I1      
I2      
I3      
Р      
Q      
S      
φU11      
φU12      
φU13      
φU25      
φU35      
φU45      

 

Лабораторная работа № 3





Рекомендуемые страницы:

Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015- 2019 megalektsii.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.