Главная | Обратная связь
МегаЛекции

Краткие теоретические сведения





Под резонансным режимом работы электрических цепей с элементами R,L,C понимают такой режим, при котором эквивалентное сопротивление цепи является чисто активным (ток и напряжение на входе цепи совпадают по фазе). Отсюда следует, что для определения условий наступления резонанса надо приравнять нулю мнимую часть комплекса входного сопротивления или проводимости цепи.

Если в резонансе находится цель, содержащая последовательно соединенные участки, имеющие индуктивный и емкостной характер, режим называется резонансом напряжений. Если в резонансе находится разветвленная цепь, содержащая параллельно соединенные участки, имеющие индуктивный и емкостной характер, режим называется резонансом токов.

 

Резонанс напряжений

Рассмотрим резонанс напряжений в последовательном контуре (рис. 1).

 

 


Рис. 1

Комплексное сопротивление цепи равно

= R + jL – 1/ωС). (1)

Условие резонансного режима для рассматриваемой цели следующее:

ωL – 1/ωC = 0; ωL = 1/ωC. (2)

Из (2) следует, что резонанса можно достигнуть, изменяя либо частоту источника, либо параметры цепи – L или С.

Угловая частота ω0, при которой наступает резонанс, называется резонансной частотой и из (2) определяется как

.

Индуктивное или емкостное сопротивление при резонансе называется характеристическим сопротивлением ρ:

(3)

Векторная диаграмма токов и напряжений при резонансе представлена на рис. 2.

 
 

 


Рис. 2

 

Отношение напряжения на индуктивности или емкости к приложенному к цепи при резонансе называется добротностью контура Q.

Q = . (4)

Добротность показывает, во сколько раз напряжение на индуктивности (или на емкости) превышает напряжение на входе схемы в резонансном режиме.

Величина, обратная добротности, называется затуханием контура

d = 1/Q. (5)

Добротности контуров, используемых при высоких частотах, могут достигать 50 – 300. Из уравнения (4) следует, что при резонансе UL = UC = QU, т.е. напряжение на емкости и индуктивности может в десятки и сотни раз превышать напряжение, приложенное ко всему контуру. Это свойство последовательного контура и послужило основанием для наименования режима резонансом напряжений.



Рассмотрим частотные характеристики последовательного контура, т. е. зависимость I , UL , UC , угла сдвига фаз (φ) между напряжением и током от частоты приложенного напряжения. Значение тока в цепи (рис.1) равно

. (6)

 

Из формулы (6) ясно, что максимального значения I0 ток достигнет при частоте, равной резонансной. При этом . Чем меньше R (при неизменных L и С), т. е. чем больше добротность контура Q, тем более острой становится форма кривой I=I(ω) на рис. 3, на котором построены амплитудно-частотные характеристики последовательного контура.

Качественно оценим изменения напряжений на емкости и индуктивности. При частоте, равной нулю, сопротивление конденсатора бесконечно велико, и приложенное ко всей цепи напряжение окажется на зажимах конденсатора. При этом сопротивление катушки и напряжение на ней равны нулю.

 
 

 

 


Рис. 3

 

Наоборот, при бесконечно большой частоте катушка представляет собой разрыв (ωL→∞), и напряжение на ее зажимах равно приложенному к цепи напряжению, а напряжение на конденсаторе равно нулю (1/ω С = 0). При резонансной частоте напряжения на индуктивности и емкости равны между собой. Максимального значения UC достигает при ωC < ω0, а UL –при ωL > ω0.

На рисунке 4 представлена фазочастотная характеристика, т. е. φ= φ(ω). Эту характеристику строят исходя из равенства

. (7)

При ω= 0 угол φ = – π/2, а при ω = ω0 φ = 0; при ω → ∞ φ = π/2.

Таким образом, при частотах ниже резонансной сопротивление контура носит емкостной характер, при частоте больше резонансной – индуктивный.

Из уравнения (7) следует: чем меньше R (при неизменных L и С), т.е. чем больше добротность контура Q, тем более резко изменяется кривая φ = φ(ω) между своими предельными значениями (–π/2) и (π/2) (рис. 4).

φ
 
 

π/2

Q1>Q2
Q2
Q1

 


ω0
ω

 


–π/2

 

 


Рис. 4

Установим связь между полосой пропускания последовательного контура и его добротностью.

Полосой пропускания контура условились называть такой диапазон частот, в пределах которого активная мощность Р контура составляет не менее половины активной мощности Р0, которую контур поглощает при резонансной частоте.

Следовательно, на границах полосы пропускания контура

или .

Напомним, что ток при резонансе. Зависимость от частоты легко получить из уравнения (6):

. (8)

График зависимости показан на рис. 5.

 

 
 

 

 


Рис. 5

Величина в уравнении (8) носит название обобщенной расстройки. На границах полосы пропускания

= 1.

Практический интерес представляют контуры, для которых Δω = ω – ω0 существенно меньше ω0. В этом случае связь между Q, ω и ω0 легко получить, преобразовывая соотношение

 

=Q = Q 2Q = 2Q . (9)


Так как на границах полосы пропускания =1, то из уравнения (9) следует

Q = , (10)

и ширина резонансной кривой δ = f0 /Q, где и – соответственно верхняя и нижняя граничные частоты полосы пропускания (рис. 5); – резонансная частота контура.

Резонанс токов

Рассмотрим резонанс токов в цепи, называемой параллельным колебательным контуром (рис. 6).

 

 
 

 


Рис. 6

 

Комплексная проводимость такой цепи равна

(11)

 

Условие резонансного режима для рассматриваемой цепи

(12)

приводит к следующему соотношению для резонансной частоты:

(13)

При резонансная частота (13) совпадает по величине с резонансной частотой для последовательного контура .

Векторная диаграмма для резонансного режима параллельного контура с учетом R представлена на рис. 7.

В случае резонанса реактивные составляющие токов в параллельных ветвях равны по величине и противоположны по фазе:

Q. (14)

Таким образом, при резонансе токи в параллельных ветвях в Q раз превосходят ток I0в неразветвленной части цепи.

 

 
 

 


Рис. 7

Рассмотрим амплитудно-частотные характеристики параллельного резонансного контура. В предположении, что R=0, , , . На рисунке 8 представлена зависимость этих величин от частоты.

 
 

 

 


Рис. 8

 

На рисунке 9 приведена фазочастотная характеристика параллельного контура. Она строится согласно уравнению (см. соотношение (11)). При ω < ω0 сопротивление контура имеет индуктивный характер, при ω > ω0 – емкостной.

 
 

 


 

 

Рис. 9

 

Рабочее задание

Исследуйте резонансный контур (рис.10) экспериментально.

1. Выполните измерения, необходимые для построения резонансных кривых (амплитудно-частотных характеристик), выражающих зависимость напряжения на элементах контура R, L, С от частоты подаваемого от генератора на вход цепи переменного напряжения.

 
 

 


Рис. 10

 

2. По данным измерений постройте резонансные кривые в общих осях, кривую – отдельно.

3. По данным эксперимента, пользуясь характеристикой , определите численные значения

f0– резонансной частоты;

U0R –напряжения на резисторе R при резонансе;

δ – ширины резонансной кривой.

Пользуясь характеристикой , определите значение максимума функции U0C.

По формулам Q = U0C./UBXи δ1 = ω0/Q рассчитайте численное значение добротности контура и ширины резонансной кривой.

4. Покажите, что для данного контура

RК – активная составляющая сопротивления катушки индуктивности;

RПЛ – полное активное сопротивление контура (RПЛ = R+RK)

L – индуктивность катушки;

С – емкость конденсатора;

ρ – характеристическое сопротивление контура

могут быть определены через измеренные величины по следующим формулам:

; ;

.

5. Рассчитайте численные значения величин RПЛ, RK, L, C, ρ по приведенным в п. 4 формулам.

 

Контрольные вопросы

1. Что понимают под резонансным режимом работы электрической цепи?

2. В чем проявляется резонанс напряжений?

3. Каковы условия возникновения резонанса напряжений и способы его достижения?

4. Каков физический смысл добротности контура?

5. Как в общем случае для любого резонансного контура рассчитать его резонансную частоту и добротность?

6. Каково практическое применение явления резонанса?

7. Почему при резонансе напряжений ток максимален?

8. В какой цепи и при каких условиях возможен резонанс токов?

9. Почему при резонансе токов ток минимален?

 

Лаборатоная работа N5





Рекомендуемые страницы:

Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015- 2019 megalektsii.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.