С-ядро в общей игре третьих лиц
С-ядро в общей игре третьих лиц
Рассматривая игру в 0-1-редуцированной форме, имеем для коалиций из двух игроков
. Следуя необходимому и достаточному условию принадлежности дележа С-ядру, получаем для компонентов дележа следующую систему неравенств: 
Почленное сложение трех неравенств дает
- необходимое условие существования
С-ядра.
Графическое изображение С-ядра представлено на рис. 11. В ситуации а все точки попарных пересечений прямых
лежат в треугольнике 1, 2, 3. В ситуации б точки пересечения
;
лежат за пределами этого треугольника и имеют координату
. Отсюда
- условие выхода этой вершины за пределы треугольника. Такую же роль играют неравенства
для двух остальных вершин.
8. Решение кооперативной игры по Нейману-Моргенштерну
Решением по Нейману-Моргенштерну (Н-М решением) называется множество дележей R, удовлетворяющее условиям:
1)никакие два дележа из R не доминируют друг над другом;
2) 
Эти два условия носят название условий соответственно внутренней и внешней устойчивости. Первое означает невозможность противопоставления двух дележей из R ни одной из коалиций. Второе – существование коалиции, стремящейся заменить дележ, не принадлежащий R, на дележ R (т. е. восстановить равновесие).
Свойства Н-М решения
. Если
Справедливость этого свойства вытекает из того, что если
- доминируемый дележ. Противоречие.
. Если R состоит из единственного дележа, то игра – несущественна. Так как если
- дележ игры в 0-1-редуцированной форме, то
и может быть построен дележ
, который не доминируется над дележом
(проверить! ). Следовательно, и 
Н-М решение в игре трех лиц с постоянной суммой
Так как не доминирующие друг на другом два дележа лежат на прямой, параллельной
одной из сторон треугольника дележей 1, 2, 3, то возможны две ситуации (рис. 12):
а) все
лежат на одной прямой (на рис
)
б) дележи
не лежат на одной прямой (легко убедиться, что это возможно лишь, если R = {A, B, C}, где A, B, C – середины соответствующих сторон треугольника) В ситуации
дележ
доминирует все дележи параллелограмма
по коалиции (1, 2), а все точки отрезка AB – дележи треугольника А3В. По коалиции (1, 3) дележ
доминирует дележи параллелограмма
, а все дележи отрезка АВ – дележи параллелограмма
. По коалиции (2, 3) дележ
доминирует дележи параллелограмма
. Из рассмотрения рис. 12, а следует: для того чтобы дележи отрезка АВ доминировали все дележи трапеции 12АВ, необходимо и достаточно, чтобы точка пересечения прямых
и
находилась ниже стороны 1, 2 (координата
этой точки была отрицательна). Так как на прямой АВ
, те координаты концов отрезка АВ:
. Следовательно, уравнение прямой
; прямой
. Условие
эквивалентно
– отрезок АВ лежит ниже средней линии треугольника. Поэтому
. Такое решение называется дискриминирующим (игрока 3). Точно так же строятся Н-М-решения, дискриминирующие игроков 1 или 2.
В примере 3 раздела 3
(игра с постоянной суммой). Для построения R воспользуемся результатом, полученным для игры в 0-1-редуцированной форме (см. раздел 5) осуществляется по формуле
, где
. Подставив в эти формулы параметры рассматриваемого примера v(1) = 2; v(2) = 0; v(3) = -5; v(1, 2, 3) = 0, получим
. Поэтому дележ игры
связав с дележом исходной игры формулами:
;
Использование этих формул даёт возможность найти дележи Н-М-решения, дискриминирующего, например, игрока 2: 

9. Виктор Шепли
Игрок I в кооперативной игре
называется болваном, если
Очевидно, болван – это игрок, не способный улучшить свойства коалиции, а лишь механически добавляющий к выигрышу уже существующей коалиции свой гарантированно получаемый выиграть.
Множество игроков не являющихся болванами в данной игре, называется носителем игры. Если N – носитель игры, то

Сформулируем требования, которые позволили бы найти единственный несправедливый, с точки зрения этих требований, дележ в виде аксиом
Аксиома эффективности:
То есть общий выигрыш носителя распределяется между его участниками
Аксиома симметрии:
где
номер игрока i после перестановки игроков данной игры
, удовлетворяющей свойству автоморфизма характеристической функции:
, где 
Аксиома агрегации: если
и
– две игры с одним и тем же множеством игроков, то для игры 

Ниже будет доказано, что система этих трех аксиом является полной и непротиворечивой, т. е. для любой характеристической функции v существует единственный дележ
, удовлетворяющий трём приведенным выше аксиомам.
Дележ
называется вектором Шепли
Воспользуйтесь поиском по сайту: