 |
Арифметические операции над матрицами
|
|
|
|
Введение
Большинство проблем, связанных с анализом схем электрических цепей, решается в два этапа. Первый этап заключается в составлении уравнений электрической цепи в форме, позволяющей использовать законы Кирхгофа и характеристики элементов, входящих в схему. Полученные на этом этапе уравнения представляют математическую модель цепи. Второй этап заключается в решении этих уравнений путем подходящих аналитических или численных методов. При машинном анализе электрических схем оба этапа могут выполняться ЭВМ, а программу общего анализа часто называют машинной моделью.
В настоящее время имеется достаточно много пакетов программ (PSpice, Electronic Workbench, P-Cad) для решения электрических (электронных) схем.
Любая такая программа машинного анализа схем признает и допускает лишь базовый на6ор схемных элементов, для которых она была разработана.
Чем больший базовый набор допускает программа, тем более многофункциональной она становится.
В случае, если схема содержит элементы, не входящие в базовый набор, следует заменить каждый такой элемент некоторой «эквивалентной схемой» на основе базовых элементов. Это часто невозможно, однако, в большинстве практических случаев считается возможным заменить каждый не допускаемый элемент «почти эквивалентной схемой», называемой схемной моделью. При разработке схемной модели необходимо, чтобы она имела такое же количество полюсов, что и рассматриваемый элемент, состояла лишь из элементов, входящих в базовый набор, чтобы результирующая схема аппроксимировала характеристики соответствующего элемента с переменной точностью.
Выбор наиболее подходящей модели зависит от ее правильного соответствия режима работы цепи: динамическому переходному режиму, установившемуся синусоидальному режиму или режиму постоянного тока.
|
|
|
Для синтеза нелинейных моделей по переменному току возможны два подхода, которые качественно согласуются с режимом работы реальных элементов: это физический метод и метод «черного ящика».
В физическом методе делается попытка преобразовать физическую структуру и механизм работы данного прибора (элемента) в схемную модель.
В методе «черного ящика» полная характеристика схемной модели и моделируемого элемента, полученная экспериментально, должны совпадать с заданной степенью точности. При этом сначала строится статическая модель, а затем для построения модели по переменному току к ней добавляются паразитные ёмкости и индуктивности в существенно важных местах и нет необходимости понимать внутренний физический механизм работы прибора.
Успешное моделирование элементов цепи и создание их схемных моделей позволяет разработать электрическую схему, состоящую только из базовых элементов, которая используется при формировании математической модели (системы уравнений, адекватно описывающей процессы рассматриваемой цепи).
Использование пакета MathCAD в практикуме по решению задач электрических цепей позволяет при освоении курса разделить этапы формирования уравнений и численного их решения, избавляя от рутинных вычислений.
Самостоятельное формирование (моделирование) уравнений, основанных на топологии, способствует их успешному освоению, а возможность изменения численных методов их решения – подходящему их выбору.
Такой подход может быть плодотворным при освоении методов анализа электрических цепей и разработке новых.
Элементы теории матриц
Определение матрицы
Матрица – это прямоугольная таблица чисел. Элемент с номерами ij матрицы А, а ij находится на пересечении i -й строки и j -го столбца:
|
|
|
. (1.1)
Матрица размера (m ´ n) (или m ´ n – матрица) имеет m строк и n столбцов. У квадратной матрицы m = n. Если а ij =0 при i ≠ j, то квадратная матрица диагональная. Если в диагональной матрице все диагональные элементы равны 1, матрица называется единичной:
. (1.2)
Если у квадратной матрицы расположенные выше (ниже) главной диагонали элементы равны нулю, то матрица – нижне – (верхне-) треугольная:
. (1.3)
Если у матрицы лишь один столбец или строка, в этом случае она называется столбцовой или строчной, или вектор-столбец, или вектор-строка, или просто вектор.
Вектор-столбец:
. (1.4)
Вектор-строка:
. (1.5)
Матрица А Т называется транспонированной к А, если элемент а ij матрицы А равен элементу а ji матрицы А Т для всех i и j
Пример 1.1. Если 
.
Матрица А называется симметричной, если А = А Т, в противном случае – несимметричной.
При А =- А Т – матрица кососимметричная.
Арифметические операции над матрицами
Сложение
Сумма матриц А и В
С = А + В (1.6)
получается сложением каждого элемента матриц А и В одного размера m ´ n, т.е. 
для всех i и j.
Операция сложения матриц коммутативна
А + В = В + А (1.7)
и ассоциативна
А + (В + С) = (А + В) + С, (1.8)
а также
(А + В)Т = АТ + ВТ. (1.9)
Умножение матриц
Произведение С = А × В может быть получено тогда и только тогда, когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В.
Если А размера m ´ t и В размера t ´ n, то матрица С = А × В определяется формулой
. (1.10)
Заметим, что в общем случае А × В ≠ В × А.
Если А × В=В × А, то матрицы коммутирующие или перестановочные.
Умножение обладает свойствами:
А × (В × С) = (А × В) × С (1.11)
ассоциативности и
(А+В) × С=А × С+В × С и А × (В+С)=А × В+А × С (1.12)
дистрибутивности.
Умножение на скаляр
|
|
|
Умножение матрицы (А) на скаляр b означает, что каждый элемент матрицы умножается на скаляр
(1.13)
Вычисление определителей
Пусть А – квадратная матрица порядка n, n > 1:
.
Определителем квадратной матрицы А порядка n, n >1 называется число
где 
– определитель квадратной матрицы порядка n -1, полученной из матрицы А вычеркиванием первой строки и j -того столбца.
Формулу 
называют формулой вычисления определителя разложением по первой строке. Число 
называется алгебраическим дополнением элемента a 1 j.
Обращение матрицы
Если А и В- две квадратные матрицы порядка n, такие, что
А × В=Е, (1.14)
то говорят, что В -матрица, обратная к А, и обозначается через
В=А -1 , (1.15)
заметим, что А × А- 1 =А- 1 × А=Е,
(1.16)
где D =det А (определитель матрицы А); 
– алгебраическое дополнение элемента а ij ., а Мij минор к элементу aij (определитель, полученный из А удалением i-й строки и j-ого столбца .
Обращение обладает свойствами:
(1.17)
А -1 существует, если det A ¹0.
Если det A =0, то матрица особенная.
|
|
|
