Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

Полная система уравнений электрических цепей

 

Законы Кирхгофа применительно к графу схемы или электрической цепи характеризуют систему в целом без учета характеристик ее элементов. Матричные уравнения

Ai =- A Á (или Di =- D Á) и Cu = Ce                    (3.10)

 

определяют систему из р отдельных уравнений. Такая система недостаточна для описания процессов в электрических цепях, так как не известны р токов и р напряжений.

Чтобы дополнить систему уравнений, необходимо определить (или задать) еще р уравнений. Эти уравнения должны отражать свойства элементов системы – ветвей электрической цепи. Очевидно, что такие связи должны быть записаны для р ветвей цепи. В матричной форме запишем эти уравнения в виде

i = f (u) или u = j (i),

 

т.е.


(3.11)

 

В зависимости от характера функций fk и j k (k =1… р) системы уравнений электрических цепей могут быть линейными – для линейных электрических цепей, т.е. для цепей, у которых r, L, С и М не зависят от значений и направлений токов и напряжений в цепи, и нелинейными – для нелинейных электрических цепей, т.е. для цепей, у которых r, L, С или М хотя бы одного из участков зависят от значений или от направлений токов и напряжений в этом участке цепи.

Каждая ветвь линейной цепи может содержать сопротивление, индуктивность, емкость, идеальный источник ЭДС и идеальный источник тока (рис. 3.9).

 

Рис. 3.9

 

Ток в сопротивлении ветви  и падение напряжения ветви U связаны законом Ома.

U = Z × I,

 

где сопротивление ветви . Эти соотношения для всех ветвей можно записать в матричной форме:


 

или кратко

U = Z × I,                                         (3.12)

 

где Z – диагональная матрица сопротивлений ветвей;

U, I, J, E – соответственно векторы напряжений и токов ветвей, токов источников тока и ЭДС ветвей.

Это матричная форма закона Ома.

Замечание: Матрица Z диагональна лишь в случае, когда ток k -ой ветви создает напряжение на сопротивлении Z, k -ой ветви. В цепях со взаимной индукцией Z имеет элементы вне главной диагонали Zij = Zji = ± sMij.

М -сопротивления индуктивной связи i -ой и j -ой ветвей. Они положительны (отрицательны), если ориентация i -ой и j -ой ветвей по отношению одноименных зажимов одинакова (противоположна).

Уравнения закона Ома можно представить в другой форме:

I = Y × U,                                         (3.13)

 

где Y = Z - 1 – матрица проводимостей, обратная матрице сопротивлений ветвей.

Если в функции fk и j k входят производные токов и напряжений, то процессы в этой линейной или нелинейной электрической цепи будут характеризоваться системой, соответственно, линейных или нелинейных дифференциальных уравнений. При отсутствии производных в функциях fk и j k процессы в этой линейной или нелинейной электрической цепи будут характеризоваться системой, соответственно, линейных или нелинейных алгебраических уравнений.

Система из 2 р уравнений, включающая в себя уравнения, записанные согласно законам Кирхгофа, и уравнения, характеризующие связи между токами и напряжениями элементов электрической цепи, и есть полная система уравнений электрической цепи, или полная математическая модель этой цепи.

 

Узловые уравнения

 

Для формирования системы уравнений относительно узловых напряжений выразим  через параметры пассивных и активных элементов обобщенных ветвей:

 

.

 

Согласно первому закону Кирхгофа, для узлов графа

AI =- AJ или AYU =- AJ.

 

Теперь напряжение на ветвях определим через узловые потенциалы:

U = A T × j +Е.

 

Таким образом, получаются уравнения

AY × A T × j = AJ - AY × E,                            (3.14)


которые называют узловыми уравнениями.

Если ввести обозначения

Y y = AY × AT – матрица узловых проводимостей,

J y = AJ - AY × E – матрица узловых токов,

то узловые уравнения запишутся кратко:

Yy j = Jy.                                                                  (3.14a)

 

При выполнении узлового анализа на ЭВМ обычно не строятся матрицы A и Y и не выполняют матричные умножения, а непосредственно пользуются правилами составления узловых уравнений:

1. Диагональные элементы матрицы Y у положительны и Yjj равны сумме проводимостей ветвей, подключенных к j -муузлу.

2. Внедиагональные элементы матрицы Yy отрицательны и Yjk равны сумме проводимостей ветвей, включенных между j -м и k -м узлами.

3. Произвольный элемент вектора тока Jy с номером jJ j равны суммеузловых токов, втекающих в j -узел.

Тогда l-я ветвь, направленная от узла j к узлу k, приводит к следующему вкладу в матрицы Yy и Jy:

 

 

Так составляются уравнения по методу узловых потенциалов последовательным перебором топологического списка ветвей схемы.

Потенциалы узлов j k равны напряжениям Vk между q -1 узлом и опорным узлом.


Контурные уравнения

 

Уравнения на основе второго закона Кирхгофа

CU = CE,

 

уравнение закона Ома

U = Z × I

 

и соотношение

 

 

подставим в контурное уравнение и получим:

 

.

 

Токи в обобщенных ветвях определим через контурные токи:

 

.

 

Так получаются контурные уравнения:

 

.                          (3.15)

 

Если ввести обозначения

Zk =С Z × С T – матрица контурных сопротивлений,

Ek = С E -С Z × J – матрица контурных ЭДС, то контурные уравнения запишутся в виде:

 

.                                 (3.15а)

 

В матричной форме решения для контурных токов

 

                      (3.16)

 

выражают принцип наложения.

Поделиться:





Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...