Модуль 8. Статистическая проверка гипотез

Цель модуля: Ознакомить студентов с одним из способов научного мышления по схеме рассуждений, называемой силлогизмом. Научить постановке задачи, практическим действиям при решении её и правилам принятия решений при статистической проверке гипотез.

Статистическая проверка гипотез осуществляется по схеме научного мышления, называемого силлогизмом.

Силлогизм – дедуктивное логическое умозаключение, состоящее из посылок и выводов.

Гипотеза – научное предположение, выдвигаемое для объяснения каких-нибудь явлений.

Исследование, изучение количественного признака – случайной величины  мы осуществляем, наблюдая попавшие в выборку возможные значения этой случайной величины. Проведя первичную обработку статистических данных , вычислив по этим данным значения точечных оценок числовых характеристик, мы выдвигаем предположения - гипотезы о виде закона распределения вероятностей, о значениях числовых характеристик случайной величины и т.п.

Гипотеза – научное предположение, выдвигаемое для объяснения каких-нибудь явлений.

Ту гипотезу, которая нам особенно важна, или дорога, будем называть основной гипотезой и обозначать . Остальные гипотезы (по крайней мере, должна быть хотя бы одна гипотеза) будем называть альтернативными гипотезами и обозначать . На самом деле, то есть в реальности, может быть справедлива только основная гипотеза , или одна из альтернативных гипотез .

Для проверки справедливости основной гипотезы  подбирается критерий проверки гипотезы , являющийся мерой расхождения между предполагаемыми, гипотетическими и опытными, полученными по выборке, значениями или характеристиками исследуемой случайной величины. Критерий  - функция элементов выборки, статистика. Следовательно, существует закон распределения статистики T: .

Для проверки того, какая из выдвинутых гипотез справедлива, проводится опыт, в результате которого получаем выборку . Определив значение критерия , мы наблюдаем одно из двух случайных событий  или . Нам известно, что если гипотеза  верна, то событие  наступить не может, то есть .

Если у нас имеет место событие , то мы говорим, что гипотеза  неверна, то есть мы её отклоняем и принимаем альтернативную гипотезу.

Так как реально мы всегда находимся в условиях статистически устойчивой случайности, то мы понимаем, что при верной гипотезе  событие  может наступить, но его вероятность  - мала. Поэтому при принятии решения мы говорим: «Так как событие  практически невозможное, его вероятность  - очень мала, то гипотеза   отклоняется». То есть мы лишь изредка будем ошибаться, и вероятность нашей ошибки будет равна .

Если мы в результате опыта мы будем наблюдать событие , то мы говорим: «Так как произошло событие , то у нас нет оснований отклонять гипотезу ». То есть гипотеза  - принимается. Так «осторожно» мы говорим в этом случае потому, что наступление события  есть результат однократного проведения опыта. Не исключено, что при повторных проведениях опытов это событие мы больше наблюдать не будем.

Так как результаты эксперимента являются выборкой из возможных значений исследуемой случайной величины, то нельзя считать значения критерия детерминированными. Поэтому при принятии решений и формулировании выводов возможны ошибки двух видов. Поэтому при выборе критерия проверки справедливости гипотез экспериментатор стремится подобрать или построить такой критерий, при котором вероятности этих ошибок будут по возможности минимальными. Такие критерии строятся на основании основных положений теории вероятностей и, прежде всего, классической предельной проблемы. Рассматриваются примеры построения критериев проверки гипотез для некоторых наиболее распространённых задач математической статистики.