 |
Последовательность решения задач
|
|
|
|
Последовательность решения задач
1. Разбить брус на участки, начиная от свободного конца. Границами участков являются сечения, в которых приложены внешние силы, и места изменения размеров поперечного сечения.
2. Определить по методу сечений продольную силу для каждого участка (ордината эпюры N ), поострить эпюру продольной силы N. Проведя параллельно оси бруса базовую (нулевую) линию эпюры, отложить перпендикулярно ей в произвольном масштабе полученные значения ординат. Через концы ординат провести линии, проставить знаки и заштриховать эпюру линиями перпендикулярно базе эпюры.
3. Для построения эпюры нормальных напряжений определяем напряжения в поперечных сечениях каждого из участков. В пределах каждого участка напряжения постоянны, т. е. эпюра на данном участке изображается прямой, параллельной оси бруса.
4. Перемещение свободного конца бруса определяем как сумму удлинений (укорочений) участков бруса, вычисленных по формуле Гука. Рис 1.
Пример 4. Для стержня ступенчато-переменного сечения, изображенного в соответствии с рисунком 1, требуется:
1. Вычислить продольные силы и нормальные напряжения в поперечных сечениях стержня.
2. В выбранном масштабе построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений по длине стержня.
3. Проверить прочность стержня по нормальным напряжениям.
4. Вычислить продольные перемещения сечений стержня.
5. В выбранном масштабе построить эпюру продольных перемещений по длине стержня.
Дополнительные указания.
Материал стержня — сталь, модуль упругости E = 2× 105 МПа, допускаемые нормальные напряжения [s] = 200 МПа.
Нижний конец стержня считается неподвижным (жестко закрепленным).
|
|
|
Исходные данные:
F1 = 250 кН, F2 = –600 кН, F3 = 400 кН, F4 = –200 кН,
A1 = 100 см2, A2 = 50 см2, A3 = 150 см2, A4 = 80 см2,
a1 = 0, 60 м, a2 = 0, 50 м, a3 = 0, 32 м, a4 = 0, 48 м.
Решение:
1. Вычисляем продольные силы и напряжения в сечениях стержня. Так как внешние силы приложены только в сечениях, где происходит изменение площади, то на участках стержня с постоянной площадью остаются постоянными продольные силы и нормальные напряжения. Продольные силы удобнее начинать вычислять со свободного конца стержня.
участок 1
N1 = F1 = 250 кН, s1 = 
= = 2, 50× 107 Па = 25, 0 МПа.
участок 2
N2 = N1 + F2 = 250 – 600 = –350 кН, s2 = 
= = –7, 00× 107 Па = –70, 0 МПа.
участок 3
N3 = N2 + F3 = –350 + 400 = 50 кН, s3 = 
= = 0, 333× 107 Па = 3, 33 МПа.
участок 4
N4 = N3 + F4 = 50 – 200 = –150 кН, s4 = 
= = –1, 88× 107 Па = –18, 8 МПа.
2. Строим эпюры продольных сил и нормальных напряжений по длине стержня в соответствии с рисунком 2. При построении эпюр следует иметь в виду, что растягивающие продольные силы и нормальные напряжения считаются положительными, сжимающие — отрицательными.
3. По эпюре нормальных напряжений определяем максимальное (по абсолютной величине) напряжение, действующее в каком-либо сечении стержня. Таким напряжением, очевидно, будет нормальное напряжение на втором участке s2 = –70 МПа. Условие прочности по нормальным напряжениям:
|s|max = 70 МПа £ [s] = 200 МПа.
Прочность стержня под действием заданных внешних сил обеспечивается.
4. Вычисление продольных перемещений сечений стержня следует начинать с закрепленного сечения, которое считается неподвижным. Так как нормальные напряжения в пределах участков стержня с постоянной площадью остаются постоянными, то продольные перемещения сечений будут линейно зависеть от координаты сечения.
Перемещение сечения при x = 0 считаем равным нулю.
Перемещение сечения при x = a4
Dl4 = = = –4, 51× 10–5 м = –0, 0451 мм.
|
|
|
Перемещение сечения при x = a4+a3
Dl3 = Dl4 + = –4, 51× 10–5 + = –3, 98× 10–5 м = –0, 0398 мм.
Перемещение сечения при x = a4+a3+a2
Dl2 = Dl3 + = –3, 98× 10–5 + = –21, 5× 10–5 м = –0, 215 мм.
Перемещение сечения при x = a4+a3+a2+a1
Dl1 = Dl2 + = –21, 5× 10–5 + = –14, 0× 10–5 м = –0, 140 мм.
5. По вычисленным продольным перемещениям строим эпюру продольных перемещений сечений стержня.
Рис. 2
|
|
|
