Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

Теоретические сведения




МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное

Учреждение высшего профессионального образования

«Юго-Западный государственный университет»

(ЮЗГУ)

Кафедра высшей математики

 

УТВЕРЖДАЮ:

Первый проректор −

проректор по учебной работе

_____________ Е.А.Кудряшов

«____»___________2011г.

 

 

МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

 

Методические указания и индивидуальные задания

по выполнению лабораторной работы № 15

 


 

 

Курск 2011

УДК 51-74

 

Составители: Л.И.Студеникина, Т.В.Шевцова

 

Рецензент

Кандидат физ.-мат.наук, доцент кафедры

высшей математики В.И.Дмитриев

 

Метод наименьших квадратов: методические указания и индивидуальные задания по выполнению лабораторной работы №15 / Юго-Зап. гос. ун-т; сост.: Л.И.Студеникина, Т.В.Шевцова. Курск, 2011. 52 с.: табл. 4. Библиогр.: с.52.

 

 

В данной работе содержатся краткие теоретические положения, образцы выполнения заданий, необходимые для выполнения лабораторной работы, индивидуальные задания.

Работа предназначена для студентов всех специальностей.

 

 

Текст печатается в авторской редакции

 

Подписано в печать _______. Формат 60х84 1/16.

Усл. печ. л.. Уч.-изд. л.. Тираж 50 экз. Заказ____. Бесплатно.

Юго-Западный государственный университет.

305040 Курск, ул. 50 лет Октября, 94.

 

 

Содержание

 

1. Теоретические сведения…………………………………………….5

2. Индивидуальные задания………………………………………….12

Задание 1 (для студентов экономических специальностей)…….12

Задание 2 (для студентов экономических специальностей)…….17

Задание 1 (для студентов инженерных специальностей)……….23

Задание 2 (для студентов инженерных специальностей)……….28

3. Образцы выполнения заданий…………………………………….34

3.1 Образец выполнения задания 1 в MSExcel…………………..34

3.2 Образец выполнения задания 2 в MSExcel…………………..40

3.3 Образец выполнения задания 1 в MathCAD…………………44

3.4 Образец выполнения задания 2 в MathCAD…………………47

Контрольные вопросы………………………………………………..51

Библиографический список………………………………………….52

 

Цель работы: 1. Изучить основы метода наименьших квадратов.

2. Научиться решать задачу аппроксимации дискретной зависимости непрерывной функцией определенного класса.

3. Освоить методику применения программных продуктов MathCAD и MSExcel для построения линейной и полиномиальной зависимостей по заданным эмпирическим данным.

 

Задание

Методом наименьших квадратов по заданным эмпирическим данным построить

1. линейную регрессию .

2. квадратичную регрессию .

Студентам инженерных специальностей рекомендуется выполнять задания, используя программный продукт MathCAD, экономических специальностей – программный продукт MSExcel. Образцы выполнения заданий в MathCAD и MSExcel приведены в настоящем пособии.

Сами индивидуальные задания смотри в разделе 2.


Теоретические сведения

Метод наименьших квадратов (МНК) – один из наиболее часто используемых методов при обработке эмпирических данных, построении и анализе физических, биологических, технических, экономических и социальных моделей[*].

С помощью МНК решают задачу выбора параметров функции (заранее заданного вида) для приближённого описания зависимости величины у от величины х.

Исходные данные могут носить самый разнообразный характер и относиться к различным отраслям науки или техники, например:

ü зависимость продолжительности службы электрических ламп от поданного на них напряжения ;

ü зависимость пробивного напряжения конденсаторов от температуры окружающей среды ;

ü зависимость предела прочности стали от содержания углерода ;

ü зависимость показателей безработицы и инфляции ;

ü зависимость роста преступности ,% и роста безработицы ,%

ü зависимость цен товара от спроса на этот товар;

ü зависимость частного потребления от располагаемого дохода ;

ü зависимость температура воздуха от высоты над уровнем моря и другие зависимости.

Пусть необходимо установить функциональную зависимость между двумя эмпирическими данными x и y, значения которых занесены в следующую таблицу:

 

x x1 x2 xi xn
y y1 y2 yi yn

Точки координатной плоскости принято называть экспериментальными.

Установим вид функции по характеру расположения на координатной плоскости экспериментальных точек.

Если точки расположены так, как показано на рис.1, то разумно предположить, что между x и y существует линейная зависимость, выражающаяся формулой:

. (1)

Рассмотрим случай такой зависимости.

Уравнение (1) можно представить в виде

.

Так как точки , , …, не обязательно лежат на одной прямой, то, подставляя вместо х и у значения координат этих точек в выражение , получаем равенства:

, , …, ,

где , , …, – некоторые числа, которые называют погрешностями (отклонениями, невязками).

Понятно, что чем меньше эти погрешности по абсолютной величине, тем лучше прямая, задаваемая уравнением , описывает зависимость между экспериментально полученными значениями x и y.

Сущность метода наименьших квадратов заключается в подборе коэффициентов k и b таким образом, чтобы сумма квадратов погрешностей была как можно меньшей:

(2)

Отметим, что в равенстве (2) находится сумма именно квадратов погрешностей, так как в случае суммирования самих погрешностей сумма может оказаться малой за счет разных знаков погрешностей.

Так как в равенстве (2) xi и yi – заданные числа, а k и b – неизвестные, то сумму S можно рассмотреть как функцию двух переменных k и b: . Исследуем ее на экстремум:

Необходимое условие существования экстремума функции двух переменных:

Приравнивая эти частные производные к нулю, получаем линейную систему двух уравнений с двумя переменными k и b:

Преобразуя первое уравнение системы, получим .

Преобразуя второе уравнение системы, получим

.

Откуда имеем систему:

(3)

Система (3) называется нормальной системой.

Из этой системы находим k и b, которые затем подставляем в уравнение (1) и получаем искомое уравнение прямой.

Тот факт, что функция в найденной точке имеет именно минимум, устанавливается с помощью частных производных второго порядка.

Вычислим

[†]

Очевидно, следовательно, в найденной точке функция имеет экстремум; а так как то, согласно достаточному условию экстремума функции двух переменных, в точке функция имеет минимум.

Полученная функция называется линейной регрессией, а коэффициенты k и bкоэффициентами регрессии (величины у на х).

Зависимость между экспериментально полученными величинами может быть близка к квадратичной (рис.2). В этом случае задача состоит в нахождении коэффициентов a2, a1, a0 для составления уравнения вида .

Можно доказать, что для определения коэффициентов a2, a1, a0 следует решить систему уравнений:

В экспериментальной практике в качестве приближающих функций, помимо линейной и квадратичной , в зависимости от характера точечного графика часто используются следующие приближающие функции:

, , , , , .

Очевидно, что когда вид приближающей функции установлен, задача сводится только к отысканию значений параметров.

Пример

Д.И. Менделеев в труде «Основы химии» приводит данные растворимости у натриевой селитры на 100 г воды в зависимости от температуры t 0:

 

ti0                  
yi 66,7 71,0 76,3 80,6 85,7 92,9 99,4 113,6 125,1

 

Соответствующая зависимость может быть представлена линейной функцией .

Требуется найти аппроксимирующую (приближаемую) функцию в предположении, что она является линейной.

Найдем коэффициенты k и b.

Для этого составим и решим нормальную систему уравнений

n – число эмпирических точек, n = 9.

 

Выполним предварительные расчеты и для удобства занесем их в таблицу (столбцы , , , )

 

 

1   66,7     67,55 -0,85 0,7225
2   71,0     71,03 -0,03 0,0009
3   76,3     76,25 0,05 0,0025
4   80,6     80,6    
5   85,7   1799,7 85,82 -0,12 0,0144
6   92,9   2694,1 92,78 0,12 0,0144
7   99,4       1,4 1,96
8   113,6   5793,6 111,92 1,68 2,8224
9   125,1   8506,8 126,71 -1,61 2,5921
  811,3   24529,2     8,19

Таким образом, нормальная система принимает вид

Решая систему, находим

Следовательно, уравнение искомой прямой

Вычислим теперь для исходных значений расчетные значения и занесем полученные результаты в таблицу (столбец )

Найдем и занесем результаты в таблицу (столбец ).

Вычислим сумму квадратов отклонений

.


Поделиться:





Читайте также:





Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...