Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Теоретические сведения

Стр 1 из 8Следующая ⇒

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное

Учреждение высшего профессионального образования

«Юго-Западный государственный университет»

(ЮЗГУ)

Кафедра высшей математики

УТВЕРЖДАЮ:

Первый проректор −

проректор по учебной работе

_____________ Е.А.Кудряшов

«____»___________2011г.

МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

Методические указания и индивидуальные задания

по выполнению лабораторной работы № 15

Курск 2011

УДК 51-74

Составители: Л.И.Студеникина, Т.В.Шевцова

Рецензент

Кандидат физ.-мат.наук, доцент кафедры

высшей математики В.И.Дмитриев

Метод наименьших квадратов: методические указания и индивидуальные задания по выполнению лабораторной работы №15 / Юго-Зап. гос. ун-т; сост.: Л.И.Студеникина, Т.В.Шевцова. Курск, 2011. 52 с.: табл. 4. Библиогр.: с.52.

В данной работе содержатся краткие теоретические положения, образцы выполнения заданий, необходимые для выполнения лабораторной работы, индивидуальные задания.

Работа предназначена для студентов всех специальностей.

Текст печатается в авторской редакции

Подписано в печать _______. Формат 60х84 1/16.

Усл. печ. л.. Уч.-изд. л.. Тираж 50 экз. Заказ____. Бесплатно.

Юго-Западный государственный университет.

305040 Курск, ул. 50 лет Октября, 94.

Содержание

1. Теоретические сведения…………………………………………….5

2. Индивидуальные задания………………………………………….12

Задание 1 (для студентов экономических специальностей)…….12

Задание 2 (для студентов экономических специальностей)…….17

Задание 1 (для студентов инженерных специальностей)……….23

Задание 2 (для студентов инженерных специальностей)……….28

3. Образцы выполнения заданий…………………………………….34

3.1 Образец выполнения задания 1 в MSExcel…………………..34

3.2 Образец выполнения задания 2 в MSExcel…………………..40

3.3 Образец выполнения задания 1 в MathCAD…………………44

3.4 Образец выполнения задания 2 в MathCAD…………………47

Контрольные вопросы………………………………………………..51

Библиографический список………………………………………….52

Цель работы: 1. Изучить основы метода наименьших квадратов.

2. Научиться решать задачу аппроксимации дискретной зависимости непрерывной функцией определенного класса.

3. Освоить методику применения программных продуктов MathCAD и MSExcel для построения линейной и полиномиальной зависимостей по заданным эмпирическим данным.

Задание

Методом наименьших квадратов по заданным эмпирическим данным построить

1. линейную регрессию .

2. квадратичную регрессию .

Студентам инженерных специальностей рекомендуется выполнять задания, используя программный продукт MathCAD, экономических специальностей – программный продукт MSExcel. Образцы выполнения заданий в MathCAD и MSExcel приведены в настоящем пособии.

Сами индивидуальные задания смотри в разделе 2.

Теоретические сведения

Метод наименьших квадратов (МНК) – один из наиболее часто используемых методов при обработке эмпирических данных, построении и анализе физических, биологических, технических, экономических и социальных моделей[*].

С помощью МНК решают задачу выбора параметров функции (заранее заданного вида) для приближённого описания зависимости величины у от величины х.

Исходные данные могут носить самый разнообразный характер и относиться к различным отраслям науки или техники, например:

ü зависимость продолжительности службы электрических ламп от поданного на них напряжения ;

ü зависимость пробивного напряжения конденсаторов от температуры окружающей среды ;

ü зависимость предела прочности стали от содержания углерода ;

ü зависимость показателей безработицы и инфляции ;

ü зависимость роста преступности ,% и роста безработицы ,%

ü зависимость цен товара от спроса на этот товар;

ü зависимость частного потребления от располагаемого дохода ;

ü зависимость температура воздуха от высоты над уровнем моря и другие зависимости.

Пусть необходимо установить функциональную зависимость между двумя эмпирическими данными x и y, значения которых занесены в следующую таблицу:

x	x₁	x₂	…	x_i	…	x_n
y	y₁	y₂	…	y_i	…	y_n

Точки координатной плоскости принято называть экспериментальными.

Установим вид функции по характеру расположения на координатной плоскости экспериментальных точек.

Если точки расположены так, как показано на рис.1, то разумно предположить, что между x и y существует линейная зависимость, выражающаяся формулой:

. (1)

Рассмотрим случай такой зависимости.

Уравнение (1) можно представить в виде

Так как точки , , …, не обязательно лежат на одной прямой, то, подставляя вместо х и у значения координат этих точек в выражение , получаем равенства:

, , …, ,

где , , …, – некоторые числа, которые называют погрешностями (отклонениями, невязками).

Понятно, что чем меньше эти погрешности по абсолютной величине, тем лучше прямая, задаваемая уравнением , описывает зависимость между экспериментально полученными значениями x и y.

Сущность метода наименьших квадратов заключается в подборе коэффициентов k и b таким образом, чтобы сумма квадратов погрешностей была как можно меньшей:

(2)

Отметим, что в равенстве (2) находится сумма именно квадратов погрешностей, так как в случае суммирования самих погрешностей сумма может оказаться малой за счет разных знаков погрешностей.

Так как в равенстве (2) x_i и y_i – заданные числа, а k и b – неизвестные, то сумму S можно рассмотреть как функцию двух переменных k и b: . Исследуем ее на экстремум:

Необходимое условие существования экстремума функции двух переменных:

Приравнивая эти частные производные к нулю, получаем линейную систему двух уравнений с двумя переменными k и b:

Преобразуя первое уравнение системы, получим .

Преобразуя второе уравнение системы, получим

Откуда имеем систему:

(3)

Система (3) называется нормальной системой.

Из этой системы находим k и b, которые затем подставляем в уравнение (1) и получаем искомое уравнение прямой.

Тот факт, что функция в найденной точке имеет именно минимум, устанавливается с помощью частных производных второго порядка.

Вычислим

[†]

Очевидно, следовательно, в найденной точке функция имеет экстремум; а так как то, согласно достаточному условию экстремума функции двух переменных, в точке функция имеет минимум.

Полученная функция называется линейной регрессией, а коэффициенты k и b – коэффициентами регрессии (величины у на х).

Зависимость между экспериментально полученными величинами может быть близка к квадратичной (рис.2). В этом случае задача состоит в нахождении коэффициентов a₂, a₁, a₀ для составления уравнения вида .

Можно доказать, что для определения коэффициентов a₂, a₁, a₀ следует решить систему уравнений:

В экспериментальной практике в качестве приближающих функций, помимо линейной и квадратичной , в зависимости от характера точечного графика часто используются следующие приближающие функции:

, , , , , .

Очевидно, что когда вид приближающей функции установлен, задача сводится только к отысканию значений параметров.

Пример

Д.И. Менделеев в труде «Основы химии» приводит данные растворимости у натриевой селитры на 100 г воды в зависимости от температуры t ⁰:

t_i⁰
y_i	66,7	71,0	76,3	80,6	85,7	92,9	99,4	113,6	125,1

Соответствующая зависимость может быть представлена линейной функцией .

Требуется найти аппроксимирующую (приближаемую) функцию в предположении, что она является линейной.

Найдем коэффициенты k и b.

Для этого составим и решим нормальную систему уравнений

n – число эмпирических точек, n = 9.

Выполним предварительные расчеты и для удобства занесем их в таблицу (столбцы , , , )

№
1	66,7		67,55	-0,85	0,7225
2	71,0		71,03	-0,03	0,0009
3	76,3		76,25	0,05	0,0025
4	80,6		80,6
5	85,7	1799,7	85,82	-0,12	0,0144
6	92,9	2694,1	92,78	0,12	0,0144
7	99,4			1,4	1,96
8	113,6	5793,6	111,92	1,68	2,8224
9	125,1	8506,8	126,71	-1,61	2,5921
∑	811,3	24529,2			8,19

Таким образом, нормальная система принимает вид

Решая систему, находим

Следовательно, уравнение искомой прямой

Вычислим теперь для исходных значений расчетные значения и занесем полученные результаты в таблицу (столбец )

Найдем и занесем результаты в таблицу (столбец ).

Вычислим сумму квадратов отклонений

12 3 4 5 6 7 8 Следующая ⇒