Гармоническая четверка

Рассмотрим две пары точек, лежащих на одной прямой, таких, что (АВ, МР) = –1 или, другими словами, пары точек АВ и МР разделяют друг друга, и . Говорят, что точки А, В, М, Р образуют гармоническую четверку, или, что пары точек АВ и МР гармонически разделяют друг друга. Построим гармоническую четверку точек, пользуясь только центральной проекцией.

Точку М можно выбрать произвольно на прямой АВ, тогда положение точки Р однозначно определяется следующим построением.

Через произвольную точку К проведем прямые КА, КВ, КМ. На прямой КМ возьмем произвольную точку L. Прямые AL и BL пересекают прямые КА и КВ в точках А' и В'. Прямая А'В' пересекает АВ в искомой точке Р.

Действительно, (АВ, МР) = (А'В', М'Р'), поскольку четверка точек А'В', М'Р' соответствует четверке АВ, МР при проекции с центром К.

Аналогично (А'В', М'Р') = (ВА, МР), так как четверке А'В', М'Р' при проекции с центром L соответствует четверка ВА, МР.

(АВ, МР) = (ВА, МР), то есть  и, при этом пары точек АВ и МР разделяют друг друга. Это и означает, что пары точек А, В и М, Р (а вместе с ними и А', В' и М', Р) образуют гармоническую четверку. Заметим, что положение точки Р на прямой АВ определяется только точками А, В, М, и не зависит от выбора вспомогательных точек К и L.

Заметим, кстати, что если точка М – середина отрезка АВ, то АВ║ А'В', а точка Р становится бесконечно удаленной.

Обычно приведенное построение описывают следующим образом:

Возьмем на проективной плоскости четыре точки общего положения и соединим их шестью прямыми – каждую с каждой. Получится конфигурация, которую называют полным четырехвершинником.

Шесть прямых дадут еще три новых точки пересечения в дополнение к уже имеющимся четырем. Соединим эти три точки еще тремя прямыми. Их называют диагоналями четырехвершинника. Каждая из диагоналей пересекает стороны четырехвершинника в четырех точках. И каждая из этих четверок – гармоническая.

Однако это еще не все. На каждой стороне исходного четырехвершинника также образуются гармонические четверки (почему? ). Таким образом, на чертеже всего тринадцать точек, девять прямых, и девять гармонических четверок – по одной на каждой прямой.

Таким образом гармоническая четверка определена только через инцидентность точек и прямых, чисто проективным образом. Действительно, при любой центральной проекции одной плоскости на другую четырехвершинник останется четырехвершинником, а гармоническая четверка – гармонической четверкой.

Из доказательства следует, что если выбрать на прямой три любые точки и достроить этот чертеж до полного четырехвершинника, то положение четвертой точки определяется однозначно, независимо от того, какой именно четырехвершинник был построен. Интересно, что это можно доказать, опираясь лишь на теорему Дезарга, не используя сложных отношений.

Придется при этом применить теорему Дезарга по крайней мере три раза к трем парам трехвершинников, так что полученное доказательство будет немного длиннее. Однако таким образом можно определить гармоническую четверку, не только не привлекая понятия длины отрезка, но даже и отношения длин.

Правда, в доказательстве теоремы Дезарга было использовано то же самое сложное отношение, но этого можно избежать, если с самого начала строить проективную геометрию, как аксиоматическую теорию (где одной из аксиом будет являться утверждение, знакомое нам, как теорема Паппа), вообще не используя понятия евклидовой геометрии. Однако, такой путь изложения вряд ли подходит для первого знакомства. Исторически все обстояло наоборот.

Сначала проективная геометрия возникла, как продолжение классической геометрии Евклида. Потом – в конце XIX века в работах Штейнера и Штаудта она была изложена, как независимая теория со своей системой аксиом, отличающихся от аксиом евклидовой геометрии. И, наконец, в начале ХХ века Кэли и Клейн из материала проективной геометрии построили евклидову и неевклидовы геометрии. Однако подробный рассказ об этом уводит далеко за рамки статьи.