 |
Проективные отображения. Задача. Теорема. Теорема Дезарга
|
|
|
|
Проективные отображения
Рассмотрим две четверки точек, каждая из которых лежит на одной прямой. Если сложные отношения этих четверок не равны между собой, то, очевидно, нельзя построить центральную проекцию, которая одну четверку точек переводит в другую.
Однако, из равенства двух сложных отношений еще не следует, что одна четверка точек обязательно является проекцией другой. Из этого следует лишь, что найдется промежуточная четверка, которая является проекцией как первой, так и второй четверки точек. Чтобы убедиться в справедливости этого утверждения, решим следующую важную задачу.
Задача
Дана четверка точек А, В, М, Р, лежащих на одной прямой m и тройка точек А', В', М', лежащих на прямой m'. Построить на прямой m' точку Р' такую, что
(АВ, МР) = (А'В', М'Р').
Заметим прежде всего, что такая точка Р существует и однозначно определена. Построим ее с помощью центральной проекции.
Пусть прямые АВ' и А'В пересекаются в точке В0, а прямые АМ' и А'М в точке М0. Построим прямую В0М0.
Теперь спроецируем на эту прямую точки А, В, М, Р из центра А'. Получим точки
А0, В0, М0, Р0, которые в свою очередь спроецируем на прямую А'В' из центра А, получая точки А', В', М', Р'.
Поскольку при центральной проекции сохраняется сложное отношение четырех точек, то (АВ, МР) = (А0В0, М0Р0) = (А'В', М'Р').
Любая из двенадцати точек, участвующих в построении может оказаться бесконечно удаленной точкой проективной плоскости. Тогда выполняя соответствующие построения на листе бумаги, мы, например, вместо того, чтобы провести прямую через точки А и В, построим прямую, проходящую через точку А параллельно прямой l, содержащей бесконечно удаленную точку В.
|
|
|
Из разобранной задачи следует важный результат. Рассмотрим какое-нибудь отображение прямой m на прямую m', про которое известно только то, что оно сохраняет сложное отношение. То есть, если точки А, В, М, Р переходят в точки А', В', М', Р', то
(АВ, МР) = (А'В', М'Р'). Такое отображение будем называть проективным отображением.
Выберем на одной прямой произвольные точки А, В, М, а на другой – их образы А', В', М'. Применим построение предыдущей задачи и рассмотрим композицию двух центральных проекций. Первая – проекция прямой m на прямую В0М0 с центром А', вторая – проекция В0М0 на m' с центром А'.
При этом окажется во-первых, что для любой точки Р на прямой m однозначно определен ее образ Р' на прямой m'. А во-вторых, построенное отображение сохраняет сложное отношение, как композиция двух центральных проекций. Следовательно, верна теорема.
Теорема
Любое проективное отображение одной прямой на другую однозначно задается тремя точками на одной прямой и их образами на другой прямой.
Любое проективное отображение одной прямой на другую либо является центральной проекцией, либо представимо в виде композиции двух центральных проекций.
Для данного проективного отображения одной прямой на другую легко определить является ли оно просто центральной проекцией или композицией двух проекций. А именно: проективное отображение одной прямой на другую является центральной проекцией в том и только в том случае, когда точка пересечения прямых переходит сама в себя.
То, что при центральной проекции точка пересечения прямых остается на месте, не вызывает сомнений. Обратное утверждение следует из того, что для задания отображения нужны три точки. Пусть прямые пересекаются в точке А. Выберем еще две пары точек В, В' и С, С'. Тогда центр проекции определяется, как точка пересечения прямых ВВ' и СС'.
Теорема Дезарга
Применим теперь свойства сложного отношения и центральной проекции для доказательства содержательных теорем. Выберем на произвольной прямой тройку точек А, В, С и построим два проективных отображения этой прямой на другую прямую. Если при этом окажется, что точки А, В, С перейдут при каждом из отображений в одни и те же точки А', В', С', то эти два отображения будут совпадать. То есть, применив эти отображения к любой точке Р на исходной прямой, получим в результате одну и ту же точку Р' на другой прямой.
|
|
|
В качестве проективных отображений естественно попытаться рассмотреть центральные проекции одной прямой на другую.
Если три прямые m, m', m0 проходят через точку А, то при любой проекции одной прямой на другую точка А перейдет сама в себя. Выберем на прямой m точки В и С и рассмотрим центральную проекцию m на m' с центром О. Точки А, В, С перейдут в точки А, В', С'.
Теперь выберем любой другой центр О1 и спроецируем m на m0. Точки А, В, С перейдут в точки А, В0, С0. Пусть прямая В'В0 пересекает прямую ОО1 в точке О2. Центральная проекция m0 на m' с центром О2 переводит тройку точек А, В0, С0 в тройку А, В', С'.
Получается, что проекция с центром О и композиция проекций с центрами О1 и О2 переводят точки А, В, С в одни и те же точки А, В', С'. Значит, применяя их к любой точке Р на прямой m, мы получим одну и ту же точку Р' на прямой m'.
 |
Полученный результат носит название теоремы Дезарга в честь архитектора Жерара Дезарга, который первым сформулировал ее в середине XVII века.
|
|
|
