Сложное отношение

Как известно, при параллельной проекции сохраняется отношение отрезков, лежащих на одной прямой. При центральной проекции отношения отрезков не сохраняются. Однако, существует некоторая числовая величина, зависящая от отношений длин отрезков, но остающаяся неизменной при центральной проекции. Эта величина носит название сложного (или ангармонического) отношения четырех точек.

Рассмотрим сначала четыре точки А, В, М, Р, лежащие на одной прямой. Величину     назовем сложным отношением точек А, В и М, Р и будем обозначать (АВ, МР).

Несложно запомнить, что оно получается как «отношение отношений». Для того, чтобы его получить, надо записать сначала в каком отношении делит отрезок АВ точка М, то есть , потом сделать то же самое для точки Р, то есть записать  и, наконец разделить одно на другое.

Отношения  и  будем записывать с учетом направления отрезков, то есть считать их положительными, если векторы АМ и МВ направлены в одну сторону, и отрицательными в противном случае. Например, на приведенном чертеже , , так что (АВ, МР)=  > 0.

Теперь рассмотрим центральную проекцию с центром О, при которой точки А, В, М, Р перейдут в точки А', В', М', Р'. Покажем, что при этом (АВ, МР) = (А'В', М'Р'). Для доказательства проведем через точки В и В' прямые, параллельные АА'. Обозначим точки пересечения этих прямых с прямыми ОМ и ОР как Х, Х' и Y, Y'. Используя параллельность прямых ОА, BY, B'Y', напишем несколько пропорций.

;                       

;          

Учитывая, что , получаем (АВ, МР) = (А'В', М'Р'). Поскольку для любой прямой, пересекающей четверку прямых a, b, m, p, сложное отношение четырех точек будет одним и тем же, эту же величину называют также сложным отношением четырех прямых. Несложно показать, что его можно выразить через синусы углов между прямыми, а именно . Для этого достаточно выразить отношение (АВ, МР) через отношение площадей треугольников ОАМ, ОМВ, ОАР, ОРВ, а площади – через синусы углов и отрезки ОА, ОВ, ОМ, ОР.

Важнейшее свойство сложного отношения состоит в том, что если задать на прямой три любые точки А, В, М и взять любое число k, то точка Р такая, что (АВ, МР) = k, определяется однозначно. Естественно, точка Р может оказаться бесконечно удаленной.

Проще всего убедиться в этом, взяв на прямой систему координат с началом в точке А и единичным отрезком АВ. Пусть точка М имеет координату m (m ≠ 0, m ≠ 1), тогда координата х точки Р находится из линейного уравнения.

Если знаменатель дроби не равен нулю, то вычисленное значение х однозначно определяет положение точки Р на прямой. Если же знаменатель оказывается равным нулю (это произойдет, если ), то будем считать, что точка Р – это бесконечно удаленная точка проективной прямой.

В наших рассуждениях мы считали, что ни одна из точек А, В, М не является бесконечно удаленной. Если же это не так, то перед тем как проводить доказательство построим такую центральную проекцию исходной прямой, чтобы все три точки присутствовали на чертеже «в явном виде». Теперь все доказательство существования точки Р можно повторить для новой прямой, а потом спроецировать точку Р обратно на исходную прямую. Сложное отношение (АВ, МР) при этом не изменится.

Кроме того, будем считать, что если точка М, например, является бесконечно удаленной, то .

Точно таким же образом ясно, что если взять три любые прямые a, b, m, проходящие через одну точку, и взять любое число k, то прямая р такая, что (ab, mp) = k, определяется однозначно.

В дальнейшем нам понадобится только то, что три точки (три прямые) и данное значение сложного отношения однозначно определяют положение четвертой точки на прямой (четвертой прямой в пучке). Находить положение этой точки (прямой) будем с помощью геометрических построений, без использования каких-либо координат и уравнений.