Теорема Дезарга. Принцип двойственности

Теорема Дезарга

Если прямые АА', ВВ', СС' конкурентны (проходят через одну точку), то точки пересечения прямых АВ и А'В', ВС и В'С', СА и С'А' коллинеарны (лежат на одной прямой).

 

 

 

Доказать теорему Дезарга можно, и не используя аппарат проективной геометрии. Действительно, пусть треугольники АВС и А'В'С' не лежат в одной плоскости, тогда пары их соответственных сторон лежат в плоскостях граней трехгранного угла с вершиной О, и, следовательно пересекаются не только на плоском изображении, но и в пространстве. Эти точки пересечения лежат на одной прямой ­– линии пересечения плоскостей АВС и А'В'С'.

Ясно, что плоский чертеж мы можем рассматривать, как проекцию соответствующей трехмерной конструкции, откуда и следует утверждение теоремы.

Очень интересный прием можно использовать при доказательстве обратной теоремы.

Если точки пересечения прямых АВ и А'В', ВС и В'С', СА и С'А' коллинеарны, то прямые АА', ВВ', СС' конкурентны.

Для доказательства применим теорему Дезарга к трем парам точек АВ, QR, А'В'.

 

По условию обратной теоремы эти прямые пересекаются в точке Р. Значит точки пересечения прямых AR и BQ, А'R и В'Q, АА' и ВВ' лежат на одной прямой. Или другими словами, прямыеАА', ВВ', СС' проходят через одну точку.

Принцип двойственности

Обратная теорема доказана однократным применением прямой теоремы. И это не просто красивая случайность. В формулировке прямой и обратной теорем Дезарга речь идет о десяти точках и десяти прямых. На каждой прямой лежат по три точки, а через каждую точку проходят три прямые.

Значит, в теореме Дезарга можно «поменять местами» точки и прямые. Действительно, будем вместо слов «точка лежит на прямой» и «прямая проходит через точку» использовать слова «точка и прямая инцидентны». Если теперь записать формулировку теоремы, используя этот искусственный оборот, то в получившемся тексте слова «точка» и «прямая» можно менять местами. В результате такой «лингвистической» процедуры прямая теорема Дезарга превратится в обратную.

  Оказывается, в проективной геометрии такое же «преобразование» можно применить к тексту любой теоремы. Ведь на проективной плоскости, в отличие от евклидовой, нет параллельных прямых. Любые две прямые имеют общую точку. И, конечно же, через любые две точки проходит единственная прямая.

Другими словами «любым двум прямым инцидентна одна общая точка», «любым двум точкам инцидентна одна общая прямая». Здесь мы отказываемся от представления, что «прямая состоит из точек». Будем считать, что на проективной плоскости есть два класса объектов – класс точек и класс прямых. Объекты двух разных классов могут находиться в отношении «инцидентности».

Поскольку в проективной геометрии нет ни расстояний, ни углов, ни площадей, все теоремы относятся только к инцидентности точек и прямых. В условии и заключении участвуют в основном коллинеарные тройки точек (три точки инцидентны одной прямой) и конкурентные тройки прямых (три прямые инцидентны одной точке).

Таким образом, если доказана какая-либо теорема проективной геометрии, то можно считать доказанной и двойственную ей теорему, которая получается из нее, если поменять местами точки и прямые. В качестве важного примера построим теорему двойственную теореме о проективном отображении одной прямой на другую.

Вместо точек, лежащих на одной прямой (как говорили в XIX веке «ряда точек»), рассмотрим пучок прямых, проходящих через одну точку (в ХХ веке и то и другое назвали «одномерным многообразием»). Назовем отображение одного пучка на другой проективным отображением, если оно сохраняет сложное отношение четырех прямых.

 Обратите внимание, мы говорим об отображении, которое каждой прямой одного пучка ставит в соответствие прямую другого пучка. При этом мы отказываемся от представления, что «прямая состоит из точек». Про «судьбу отдельной точки» в таком отображении вообще нет смысла говорить.

 Простейший пример – перспективное отображение одного пучка на другой. Оно двойственно центральной проекции одной прямой на другую. При центральной проекции прямые, соединяющие соответственные точки, проходят через центр проекции, точку S. Точно так же, при перспективном отображении пучков точки пересечения соответственных прямых лежат на оси перспективы, прямой s.

		(АВ, CD) = (A'B', C'D')				(аb, cd) = (a'b', c'd')

 

 

Сформулируем и докажем двойственную теорему

 

 

Будем, фактически, решать следующую задачу:

Даны четыре прямые a, b, m, p, принадлежащие одному пучку и три прямые a', b', m', принадлежащие другому пучку. Построить такую прямую р', что (ab, mр) = (ab, mр).

Интересно проследить, как при доказательстве двойственной теоремы точки и прямые меняются местами. Если при доказательстве первой теоремы на каждой из прямых были выбраны по три точки и затем рассматривались соединяющие их прямые, то теперь выберем в каждом пучке по три прямые и рассмотрим точки их пересечения.

Проведем прямую b₀ через точки пересечения ab' и a'b и прямую m₀ через точки пересечения am' и a'm. Прямые b₀ и m₀ определяют пучок (так же как две точки определяют прямую). Этот пучок оказывается перспективен и первому пучку с осью a', и второму – с осью a. Теперь для любой прямой р можно сначала построить ее образ р₀ в промежуточном пучке, а потом и образ р' прямой р₀ в другом пучке. При этом отображение первого пучка на второй представлено в виде композиции двух перспективных отображений.

 

 

Так же, как и для отображения одной прямой на другую, оказывается верным утверждение: проективное отображение одного пучка на другой является перспективным, в том и только в том случае, когда прямая, соединяющая вершины пучков, переходит сама в себя.

Доказательство полностью повторяет двойственный аналог для двух прямых. При этом вместо «общей точки двух прямых» будем говорить об «общей прямой двух пучков», вместо центра проекции появится ось перспективы и т. п. Для лучшего понимания принципа двойственности полезно провести подобные рассуждения самостоятельно.

Интересно, что так преобразовать можно не только «лингвистически» текст теоремы, но и «геометрически» проективную плоскость. То есть, существует такое преобразование проективной плоскости, которое переводит точки в прямые, прямые – в точки, и при этом точке пересечения двух прямых соответствует прямая, проходящая через две точки. Однако, устроено оно совсем не просто, поэтому мы познакомимся с ним немного позже.

 

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: