 |
Теорема Паскаля. Новое определение конического сечения ставит перед нами естественную задачу на построение
|
|
|
|
Теорема Паскаля
Из доказанной теоремы следует, что если взять два пучка прямых с вершинами на любом коническом сечении, и рассмотреть отображение одного пучка на другой, такое что соответственные прямые пересекаются в точках, лежащих на конике, то это отбражение будет проективным, то есть сложное отношение прямых будет сохраняться.
Можно сформулировать этот результат и по-другому:
Выберем на конике четыре неподвижные точки A, B, C, D и пятую подвижную точку М. Сложное отношение прямых МA, МB, МC, МD не зависит от выбора точки М.
Новое определение конического сечения ставит перед нами естественную задачу на построение. Возьмем два пучка с вершинами М и N. Чтобы задать проективное отображение, достаточно выбрать в каждом пучке тройку прямых: a1, b1, c1 – в первом пучке и a2, b2, c2 – во втором. Три точки пересечения соответствующих прямых А, В, С лежат на конике. Кроме того, коника должна проходить еще и через точки М и N.
Значит, взяв любые (! ) пять точек общего положения М, N, А, В, С, можно построить единственную конику, проходящую через эти точки. Две из этих пяти точек будут вершинами пучков, и из каждой вершины проводим по три прямые через три оставшиеся точки. Таким образом проективное отображение одного пучка на другой становится полностью определенным. Вершинами пучков при этом можно выбирать любые две точки. Коника будет получаться та же самая. (почему? )
Таким образом, уже доказана очень сильная теорема.
Теорема
Фактически, имея пять исходных точек, мы можем постоить еще сколько угодно точек конического сечения. Действительно, взяв любую прямую из одного пучка, построим ее образ в другом пучке, тогда их точка пересечения будет лежать на искомой конике. Возвращаемся к уже известной задаче:
|
|
|
По данным четырем прямым a1, b1, c1, d1, проходящим через точку М, и трем прямым a2, b2, c2, проходящим через точку N, построить прямую d2 такую, чтобы выполнялось равенство (a1b1, c1d1) = (a2b2, c2d2).
Эта задача была полностью решена, когда мы давали определение проективного отображения пучков. Однако, решив ее другим способом, мы получим доказательство одной из самых замечательных теорем проективной геометрии – теорему Паскаля.
План построения будет следующим: сначала заменим сложное отношение прямых (a1b1, c1d1) сложным отношением точек, лежащих на одной прямой, потом спроецируем эти точки на другую прямую, и опять перейдем от точек к прямым a2, b2, c2, d2 с сохранением сложного отношения.
Пусть прямые a1, b1, c1, d1 пересекают прямую АВ в точках A, B, C1, D1. Тогда (a1b1, c1d1) = (AB, C1D1). Построим теперь центральную проекцию прямой АВ на прямую ВС. Центром проекции выберем точку S, в которой пересекаются прямые c1 и a2. Проекциями точек A, B, C1, D1 будут точки A2, B, C, D2. (AB, C1D1) = (A2B, CD2). Соединяя точки A2, B, C, D2 с точкой N, получаем три данные прямые a2, b2, c2 и четвертую прямую d2.
(a2b2, c2d2) = (A2B, CD2) = (AB, C1D1) = (a1b1, c1d1). Точка D пересечения прямых d1 и d2 лежит на конике.
Заметим, что в этом построении появляется всего одна прямая, которая не принадлежит двум исходным пучкам и не соединяет две исходные точки. Это прямая р, которая проходит через центр проекции S и соединяет точки D1 и D2.
Убирая с чертежа некоторые прямые и точки и вводя новые обозначения, получаем теорему Паскаля.
|
|
|
