 |
Теорема Паскаля. Теорема Брианшона. Доказательство теоремы следует непосредственно из построения. Действительно
|
|
|
|
Теорема Паскаля
Пусть шесть точек АВCDMN лежат на произвольном коническом сечении, тогда точки пересечения прямых AN и CM, AB и DM, ВC и DN лежат на одной прямой.
Доказательство теоремы следует непосредственно из построения. Действительно, пять точек из шести данных полностью определяют конику. Проводя построение шестой точки, получаем прямую Паскаля. Это та самая прямая р, которая не проходит ни через одну из начальных пяти точек.
Паскаль доказал эту теорему, когда ему было всего 16 лет. Это случилось по крайней мере за 250 лет до того, как Штейнер сформулировал проективное определение коники. Нет сомнения, что доказательство Паскаля использовало только «классические» теоремы евклидовой геометрии.
Чтобы лучше разобраться с теоремой, рассмотрим щесть точек, лежащих на окружности. Соединяя их одну за другой, получим шестизвенную ломаную ABCMDN. Паскаль назвал ее «Hexagramma mysticum», мы назовем ее шестиугольником Паскаля.
Если эта ломаная ограничивает выпуклый шестиугольник, то пары отрезков AN и CM, AB и DM, ВC и DN являются его противоположными сторонами. В этом случае теорему Паскаля формулируют обычно так:
Точки пересечения противоположных сторон шестиугольника, вписанного в окружность (или коническое сечение), лежат на одной прямой.
Эту же формулировку можно оставить и для случая, когда ломаная не является выпуклой. «Противоположными сторонами шестиугольника» будем считать такие звенья ломаной, которые разделены ровно двумя другими звеньями с каждой стороны.
Здесь становится особенно хорошо видна связь между теоремой Паскаля и теоремой Паппа. В обеих теоремах речь идет о точках пересечения противоположных сторон шестиугольника. И в обеих теоремах эти точки лежат на одной прямой. И это, конечно же, не случайность.
|
|
|
Мы назвали коникой множество точек пересечения соответствующих прямых двух пучков, между которыми установлено проективное соответствие. Если эти пучки находятся в перспективном соответствии, то соответствующие прямые пересекаются на оси перспективы. Кроме того прямая, которая соединяет вершины пучков переходит сама в себя. Так что в этом случае под определение коники вполне подходят две пересекающиеся прямые.
Если давать определение конического сечения, как пересечения плоскости и конической поверхности, то рассмотрев плоскость, проходящую через вершину конуса, опять получим две пересекающиеся прямые. Естественно, поэтому, считать пересекающиеся прямые особым, «вырожденным» случаем коники. Теорема Паппа теперь становится частным случаем теоремы Паскаля.
Теорема Брианшона
Воспользуемся двойственностью точек и прямых на проективной плоскости, чтобы сформулировать теорему, двойственную теореме Паскаля. Брианшон сделал это почти через 150 лет после опубликования теоремы Паскаля. С тех пор во всех книгах по проективной геометрии эти две теоремы находятся рядом, иллюстрируя принцип двойственности.
Возьмем шестиугольник Паскаля, вписанный в коническое сечение, и применим к нему полярное преобразование. Коника останется на месте, а вершины шестиугольника перейдут в свои поляры, то есть касательные к конике. Стороны шестиугольника перейдут в свои полюса, то есть точки пересечения шести поляр. Точки пересечения противоположных сторон вписанного шестиугольника превратятся в прямые, соединяющие вершины описанного шестиугольника. Поскольку три исходные точки лежали на одной прямой, три соответствующие поляры будут проходить через одну точку.
Теорема Брианшона
|
|
|
Прямые, соединяющие противоположные вершины шестиугольника, стороны которого касаются конического сечения, пересекаются в одной точке.
 | |||
 | |||
Интересно теперь поставить такой вопрос: что является образом коники при полярном преобразовании? Действительно, точки переходят в прямые, прямые – в точки, а во что перейдет коника?
Совершим сначала полярное преобразование коники относительно себя самой. Каждая точка коники перейдет в свою поляру – касательную к конике. Получается, что коника, которая была множеством точек, станет теперь множеством прямых. Это множество называют оболочкой коники.
Рассмотрим два пучка, порождающие конику. Между ними установлено проективное соответствие. В результате полярного преобразования прямые каждого пучка перейдут в точки одной прямой. Между точками двух прямых также будет установлено проективное соответствие, поскольку полярное преобразование сохраняет сложное отношение.
Точки пересечения соответственных прямых превратятся в прямые, соединяющие соответственные точки. Как мы только что выяснили, эти прямые являются касательными к конике. Значит оболочку коники можно представить, как множество прямых, соединяющих пары соответственных точек при проективном отображении одной прямой на другую.
Принцип двойственности позволяет высказать и более общее утверждение.
Рассмотрим две прямые, между точками которых установлено проективное соответствие. Множество прямых, соединяющих соответственные точки, образует оболочку какой-либо коники.
Полное доказательство этой теоремы приводить не будем. Вдумчивый читатель может рассмотретьоболочку коники, как центральную проекцию оболочки окружности и доказать двойственный аналог соответствующей теоремы о пучках.
 |
Теперь можно сформулировать еще один замечательный двойственный результат.
А также:
Рассмотрим теперь проективное отображение прямой а на прямую а', при котором бесконечно удаленная точка одной прямой перейдет в бесконечно удаленную точку другой прямой. Поскольку прямые, соединяющие соответственные точки, являются касательными к коническому сечению, то среди этих касательных будет и бесконечно удаленная прямая. Коника, касающаяся бесконечно удаленной прямой, называется параболой. Прямые а и а' – касательные. Обозначим точки касания М и N.
|
|
|
Возьмем теперь еще какую-нибудь касательную к параболе, которая соединяет соответственные точки В и В'. Пусть прямые а и а' пересекаются в точке S. При отображении одной прямой на другую точка М переходит в S, точка S – в N, точка В – в В', бесконечно удаленная точка Х¥ – в бесконечно удаленную точку Х'¥ .
Значит, (MS, BX¥ ) = (SN, B'Х'¥ ). Но 
. Следовательно, 
, то есть касательная к параболе делит отрезки двух других касательных в одном и том же отношении (в противоположных направлениях).
Отложим теперь на сторонах какого-либо угла два отрезка, начиная от вершины, и поделим каждый на n равных частей. Соединяя точки, которые делят отрезки в одном и том же отношении (см. чертеж), получаем семейство касательных к параболе.
|
|
|
