 |
Свойства разомкнутой экспоненциальной СеМО
|
|
|
|
Приведем еще раз определение сети массового обслуживания. СеМО называют совокупность СМО, в которой заявки с выходов одних СМО могут поступать на входы других. Входными потоками заявок СеМО будем называть потоки, поступающие на входы отдельных СМО из внешней среды
СеМО, т. е. не с выхода какой-либо СМО. В общем случае число входных потоков СеМО равно числу СМО.
СеМО 
, 
i 
, 
;
Входной поток с интенсивностью 
, 
– поток из внешней среды на вход 
,
Разомкнутая экспоненциальная СеМО задается следующими параметрами:
1) числом СМО N;
2) числом K1, …, KN каналов в СМО (1, …, N);
3) матрицей 
вероятностей передач, i = 1, …, N; j = 0, …, N; 
4) интенсивностями входных потоков заявок I1, …, IN;
5) средними временами обслуживания заявок в СМО 
.
Например, СеМО, изображенная на рис. 2.6, будет задана численно в следующем виде:
1) N = 3;
2) K1 = 1; K2 = 1; K3 = 2;
3) 
;
4) I1 = 1; I2 = 0; I3 = 0;
5) 
= 0,07; 
= 0,06; 
= 0,35.
Рис. 2.6
СеМО стационарна, если стационарна каждая СМО 
СеМО. Отдельные СМО в экспоненциальной СеМО ведут себя как экспоненциальные, поэтому для их расчета в заданной СеМО нужно найти интенсивности 
, 
входных парциальных потоков.
Свойства слияния и разветвления потоков
При рассмотрении отдельной СМО во взаимосвязи с другими СМО может иметь то, что входной поток СМО суммируется из нескольких потоков (поступающих с выходов других СМО и внешних источников), а ее выходной поток разветвляется на части (поступающие на входы других СМО и внешнюю среду). В этой ситуации интенсивность l входного потока СМО (рис. 2.6 а) будет складываться из интенсивностей l i нескольких (r) потоков:
l = l1 + … + l r.
Соответственно, интенсивность l ' выходного потока СМО будет тогда раскладываться на интенсивности l 'i его ветвей, определяемые в виде:
|
|
|
l 'i = pi l ', (i = 1, …, s; S pi = 1),
где pi – вероятность того, что заявка на выходе СМО выберет i -е направление. Выбор направления уходящей из СМО заявкой будем считать независимым случайным событием.
| l1 |
| l r |
| P |
| p 1 |
| ps |
| m |
| l |
| l ' |
Рис. 2.6 а. Представление узла СеМО в виде СМО с отказами
Интенсивность потока заявок, покидающих СМО вследствие получения отказа, равна P l. С учетом этого для стационарного режима СМО имеем соотношение
l = P l + l ',
которое означает, что в единицу времени из СМО уходит в среднем столько же заявок, сколько в нее поступает, или, другими словами, что среднее число заявок в СМО постоянно (не зависит от времени).
В экспоненциальной СеМО поток заявок на входе СМО складывается из входного потока СеМО (возможно, имеющего нулевую интенсивность) и потоков, поступающих с выходов других СМО, и может отличаться от пуассоновского. Это значит, что СМО в сети не экспоненциальные. Тем не менее, довольно часто считают, что СМО ведут себя в ней во многом как экспоненциальные. В частности, характеристики СМО отвечают выражениям (1.2)–(1.4), поэтому для их расчета в заданной СеМО достаточно найти интенсивности 
входных потоков СМО.
Интенсивности определяются на основе уравнений баланса сети с учетом простых свойств слияния и разветвления потоков. При слиянии n потоков заявок с интенсивностями 
образуется поток, имеющий интенсивность 
. При ветвлении потока с интенсивностью λ на n направлений, вероятности перехода заявки в которые равны 
, образуется n потоков c интенсивностями 
соответственно.
В любой фиксированной части стационарной СеМО среднее число заявок постоянно. Отсюда следует, что суммарная интенсивность входящих в эту часть потоков равна суммарной интенсивности выходящих. Запись данного закона в математической форме называется уравнением баланса. Выделяя в СеМО различные части и составляя для них уравнения баланса, можно получить систему уравнений, связывающую неизвестные интенсивности c известными I1, …, IN. Обычно при этом в качестве отдельных частей СеМО выделяют все СМО. В этом случае для N неизвестных имеется N уравнений. Можно добавить к ним уравнение баланса для входных и выходных потоков всей СеМО. Тогда получится N + 1 уравнение, и одно из них можно использовать в качестве проверочного.
|
|
|
Например, баланс интенсивностей в сети, изображенной на рис. 2.1, можно учесть, обозначая интенсивности на входах и выходах СМО и СеМО так, как показано на рис. 2.7. Применяя свойства слияния и ветвления потоков, запишем:
(2.9)
Рис. 2.7
При известных I1 = 1, р10 = 0,1, р12 = 0,5, р13 = 0,4 из последних трёх уравнений находим λ1 = 10, λ2 = 5, λ3 = 4. Используя первое уравнение в (2.9) для проверки, подставляем в него найденные значения интенсивностей и получаем тождество 10 = 1 + 5 + 4, подтверждающее правильность вычислений.
Проверка стационарности СеМО. СеМО стационарна, если стационарны все СМО, т. е. если
. (2.10)
Проверить эти условия после того, как определены 
, не составляет труда. Например, для СеМО, изображенной на рис. 2.7, условие (2.10) выполняется, поскольку
;
; 
.
Для стационарной экспоненциальной СеМО с известными интенсивностями λj расчёт локальных характеристик сводится к применению формул (1.2)–(1.4). Например, для СеМО, приведенной на рис. 2.7 находим:
ρ1 = 0,7; L1 = 1,63; M1 = 2,33; 
= 0,163; 
= 0,233; ρ2 = 0,3;
L2 = 0,13;M2 = 0,43; 
= 0,026; 
= 0,086; 
= 0,7; 
= 0,176;
L3 = 0,402; M3 = 1,802; 
= 0,1; 
= 0,45.
|
|
|
