Методологическое вступление

«Надо, чтобы такие слова, как точка, прямая, плоскость, во всех предложениях геометрии можно было заменить, например, сло­вами стол, стул, пивная кружка» ¹);

— о грамматике — наборе правил, позволяющих связывать эти слова
или символы в правильно построенные предложения (в логике и
математике обычно говорят о правильно построенных формулах);

— об аксиоматике — наборе не требующих доказательств само­
очевидных истин;

— - об энциклопедии — наборе предложений, истинных на основе внелогических (прежде всего, эмпирических) оснований²;

— наконец, о способах доказательства — о правилах преобразова­
ния предложений, позволяющих из принятых за истину предло­
жений выводить другие истинные, правильно построенные пред­
ложения.

Выбор всех этих слов, правил и аксиом сам по себе с логической точки зрения произволен (ссылка на очевидность ничего не решает). Он не может быть доказан (в том числе и потому, что непонятно, как доказывать то, что и так очевидно). Е. Вигнер удачно определил мате­матику как «науку о хитроумных операциях, производимых по специ­ально разработанным правилам над специально придуманными поня­тиями»³. Единственное требование, которое ограничивает произвол, — система должна быть непротиворечивой: в ней не должно быть ни са­мопротиворечивых аксиом, ни противоречий между аксиомами. Логи­ко-математические науки, прежде всего, претендуют именно на фор­мальную правильность и непротиворечивость своих рассуждений, а не на их истинность (если истину понимать как соответствие действитель­ности). Так, если принять, что все рыбы — красные и что все игроки в домино — рыбы, то можно сделать формально безупречный вывод, ра­зумеется, не претендующий на истинность как на соответствие дей­ствительности: игроки в домино — красные.

Кстати, естественные науки включают в себя логику, и именно поэтому вынуждены иметь дело с исходно неопределяемыми (а потому [окончание cтраницы 45]

______________________________

¹Цит. по Вейль Г. Математическое мышление. М., 1989, с. 237

²Я надеюсь, что позволил себе не слишком вольную трактовку позиции, восхо­
дящей к Д. Гильберту. Введение эмпирических истин в логическую систему опирается
на признание многих математиков, считающих, что «есть по крайней мере два различ­
ных сорта истинных научных предложений: с одной стороны, эмпирические истины и,
с другой - математические и логические» — см. Френкель А., Бар-Хиллел И. Основа­
ния теории множеств. М., 1966, с. 198.

³ Вигнер Е. Этюды о симметрии. М., 1971, с. 183-184.

Раздел первый

необъяснимыми) терминами. К. Хюбнер говорит о «свободе выбора ап­риорных установлений» в естественной науке¹. А. Шопенгауэр в этой необъяснимости исходных терминов и аксиом видит бессилье естествен­ных наук, тогда как такое положение дел — неизбежное следствие при­менения логики. Вот как рассуждал Шопенгауэр: естественная наука (этиология, в его терминологии) раскрывает закономерный порядок, ука­зывает явлениям их место во времени и пространстве, однако о внут­реннем существе какого-либо из этих явлений мы не получаем ни ма­лейшего знания. Это существо именуется силой природы и лежит вне сферы естественнонаучного (этиологического) объяснения. После всех её объяснений эти явления остаются нам совершенно чужды, их смысл непонятен. «Механика, — пишет Шопенгауэр, — с самого начала пред­полагает как необъяснимое материю, тяжесть, непроницаемость, пере­дачу движения толчком, косность и т. д.»².

Но всё дело в том, что логика определяет только правила игры с символами. Она не может претендовать ни на что большее. Эти прави­ ла должны быть однозначными и удобными для тех, кто в эту игру с символами играет. Разумеется, есть правила, которые удобны почти все­гда. Например, такое: если a < b, а Ь < с, то a < с. Однако и такое обыч­ но разумное правило отнюдь не всегда верно. Не очень целесообразно его применение к качественным оценкам (если, например, знак «<» означает «менее красив» или «менее загадочен»), к величинам, изменя­ющимся во времени, и т. д. Так, какое бы ни было эмоциональное отно­шение а к Ь и Ь к с, вряд ли что-либо строго однозначное можно сказать об отношении а к с. Поэтому, вообще говоря, логическая система тре­бует какой-либо интерпретации, в рамках которой и используются тер­мины. Интерпретация приписывает этой системе некий смысл, выходя­щий за рамки самой системы. Интерпретация может быть эмпиричес­кой — тогда система связывается хоть с каким-либо представлением о реальности. Например, арифметика связывается со способами перечис­ления, а геометрия — с измерением на поверхности Земли. Интерпре­тация может быть также логической или математической — тогда одна логическая система интерпретируется в терминах другой — например, геометрия интерпретируется в алгебраических терминах.

Требование непротиворечивости недостаточно для построения ло­гической системы. Ведь даже для доказательства непротиворечивости необходим какой-то набор слов и аксиом. Любое доказательство, в том [окончание cтраницы 46]

______________________________

'Хюбнер К. Критика научного разума. М., 1994, с. 55.

²Шопенгауэр А. Мир как воля и представление. Минск, 1998, с. 223-225.