Методологическое вступление

числе доказательство непротиворечивости, предполагает какой-то спо­соб доказывания, а значит, и аксиоматику. Можно ли, например, логи­чески доказать, что непротиворечивость надо доказывать, или что про­тиворечивой логики не может существовать? И можно ли точно опреде­лить, что такое непротиворечивость, чтобы её можно было однозначно доказать?¹ Чаще всего доказательство непротиворечивости ограничи­вается доказательством существования интерпретации. Так, Д. Гильберт доказывает, что геометрия непротиворечива, если непротиворечива ариф­метика. Но является ли это реальным доказательством того, что геомет­рия непротиворечива, если нет логического аппарата для доказатель­ства непротиворечивости самой арифметики?..

Из сказанного следует: логика никогда не может логически обо­сновать сама себя. Это первыми осознали математики, когда стали пытаться доказать кажущиеся не слишком очевидными аксиомы (типа пятого постулата Эвклида) и пришли к глубокому кризису оснований своей науки. Великий английский математик и философ Б. Рассел об­разно описал свое состояние в процессе понимания причин кризиса:

«Я жаждал определенности (т. е. логической обоснованности— В. А) примерно так же, как иные жаждут обрести религиозную веру. Я пола­гал, что найти определенность более вероятно в математике, чем где-нибудь еще. Выяснилось, однако, что если определенность и кроется в математике, то заведомо в какой-нибудь новой области, которую можно обосновать более надежно, чем традиционные области с их истинами, только кажущимися незыблемыми. В процессе работы у меня из голо­ вы не выходила басня о слоне и черепахе: воздвигнув слона, на котором мог бы покоиться математический мир, я обнаружил, что этот слон ша­тается, — тогда мне пришлось создать черепаху, которая не давала бы слону упасть. Но и черепаха оказалась ничуть не более надежной, чем слон, — и через каких-нибудь двадцать лет напряженных усилий и по­исков я пришел к выводу, что не смогу сделать ничего более, дабы при­дать математическому знанию неоспоримый характер... Математика (а по существу и логика— В. А.) — такой предмет, в котором мы никог­ да не знаем ни того, о чем мы говорим, ни насколько верно то, что мы [окончание cтраницы 47]

___________________________

¹ Например, блестящий логик и глубокий мистик П. А. Флоренский вообще отвергает традиционный взгляд на непротиворечивость. Он допускает как непротиворечивое такое построение: из q следует г, а при условии р из q следует «не г» — см. Флоренский П. А. Столп и утверждение истины, 1 (2). М., 1990, с. 500-505. Поясняющий пример Флоренс­кого: небо (q) — голубое (г); однако на закате (р) небо (q) красное (т. е. «не г»). Возмо­ жен такой взгляд на непротиворечивость? Ответ зависит от нашего выбора. Логики на­звали такие понимание паранепротиворечивостью.

Раздел первый

говорим»¹. В другой работе Рассел добавляет: «Пока мы остаёмся в области математических формул, всё кажется определённым, но когда мы стараемся интерпретировать их, оказывается, что эта определённость в какой-то степени иллюзорна»².

Позднее, к тому же, выяснилось, что при таком подходе в доста­точно богатых логических системах (хотя бы включающих в себя ариф­метику) нельзя построить полный набор аксиом (теорема Гёделя о не­полноте). Иначе говоря, существуют такие правильно построенные пред­ложения, которые с таким же успехом можно принять за аксиомы, как и их отрицания, — они несводимы к имеющимся аксиомам, а значит, нельзя доказать их истинность; их также нельзя привести к противоре­чию с аксиомами и тем самым доказать ложность этих предложений. Более того, нельзя определить полный набор всех истинных предложе­ний, выводимых из данного набора аксиом (теорема Левенгейма-Ско-лема), нельзя создать процедуру, позволяющую заранее определить, мож­но ли в принципе доказать истинность или ложность данного предло­жения... Но если в логике эти трудности неизбежны, то тем острее они в менее формализованных естественных языках. Потому так грустен М. Полани, который признается, что мы никогда не сможем ни выска­зать всё, что знаем, ни узнать всего того, что сказали ³. В общем, если слишком сильно об этом задумываться, то возникает опасность для нор­мальной психики удариться «о космическое дно» (а ведь, как говаривал Станислав Ежи Лец, очутившись на дне, можно услышать стук снизу).

Следует также учесть, что рационалистические построения слиш­ком чувствительны к ошибкам и к изменениям исходных допущений (аксиом). Если в рассуждениях какого-нибудь логика или математика встречается ошибка (т. е. появляется противоречие), то, строго говоря, выводы уже можно не читать - они заведомо ошибочны. В истории куль­туры различные математические и логические системы потому и сосу­ществуют друг с другом, что все они формально правильны. Поэтому, например, неэвклидовы и псевдоевклидовы геометрии не отвергли гео­метрию Эвклида, поскольку все эти разные геометрии опираются на разные исходные предпосылки. Нам остаётся лишь выбирать ту, кото­рая в данный момент устраивает нас больше.

Человечество всегда стремилось и будет стремиться к недости­жимой логической ясности. И будет периодически верить обещаниям [окончание cтраницы 48]

_________________________

¹ Цит. по кн. Клайн М. Математика. Утрата определенности. М, 1984, с. 266-267. ²Рассел Б. Человеческое познание. Его сфера и границы. Киев, 1997, с. 259.

³ Полани М. Личностное знание. М., 1985, с. 140.